4 / 11
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
19
нее соотношение из равенства (6), получаем, что при всех
= 0, 1, 2,
k
выполнены равенства
( )
0
( ) = 0.
k
V z
Из аналитичности в
области
D
матрицы
( )
V z
следует, что
( ) = 0
V z
при всех
,
z D
а это
означает равенство
т
( ) = ( )
W z W z
при всех
z D
. ►
Замечание 1.
Условие симметричности матрицы
0 0 0
( )
P z W
с учетом ра-
венства
0
( ) =
P z E
означает, что симметрической является матрица
0
W
.
Согласно теореме 2, для доказательства симметричности в одно-
связной области
D
решения
( )
W z
уравнения (1) с начальным услови-
ем
0
0
( ) =
W z W
,
0
,
z D
необходимо построить последовательности
{ ( )},
k
P z
{ ( )}
k
Q z
и убедиться в симметричности матриц
0 0
( )
k
P z W
и
0
( ),
k
Q z
= 0, 1, 2,
k
Покажем, что если матрицы
( )
k
P z
удовлетворя-
ют некоторым дополнительным условиям, то все матрицы
( ),
k
Q z
= 0, 1, 2,
k
, симметричны. Следовательно, можно ограничиться по-
строением и проверкой свойств только последовательности
{ ( )}.
k
P z
Теорема 3.
Пусть
( )
W z
— решение уравнения (1) в односвязной
области D
,
удовлетворяющее условию
0
0
( ) = ,
W z W
0
,
z D
матрицы
0 0
( ) ,
k
P z W
= 0, 1, 2,
,
k
симметричны. Если в области
D
матрицы
( ) ( ),
k
P z B z
= 0, 1, 2,
,
k
симметричны, то решение
( )
W z
симмет-
рично в области D.
◄ Для доказательства теоремы покажем методом математической
индукции, что из симметричности в области
D
матриц
( ) ( )
k
P z B z
сле-
дует симметричность в области
D
матриц
( )
k
Q z
,
= 0, 1, 2,
k
При
= 0
k
доказываемое утверждение очевидно, так как
0
( ) = 0.
Q z
Предпо-
ложим, что для некоторого номера
j
матрица
( )
j
Q z
является симмет-
рической. Тогда симметрической будет и матрица
1
( ).
j
Q z
Действи-
тельно, из симметричности матрицы
( )
j
Q z
следует симметричность
матрицы
( ),
j
Q z
поэтому, используя (4) и учитывая симметричность
матрицы
( ) ( ),
j
P z B z
получаем
т
т
т
1
( ) = ( )
( ) ( ) =
j
j
j
Q z Q z
P z B z
1
( )
( ) ( ) = ( ).
j
j
j
Q z P z B z Q z
Таким образом, все матрицы
( )
k
Q z
яв-
ляются симметрическими в области
.
D
В частности, матрицы
( )
k
Q z
симметричны в точке
0
.
z D
Применяя теорему 2, приходим к утвер-
ждению теоремы 3. ►
Замечание 2.
В силу равенства
0
( ) =
P z E
симметричность в области
D
матрицы
0
( ) ( )
P z B z
означает, что симметрической в области
D
является мат-
рица
( ).
B z