2 / 11
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
17
Введение.
Задача исследования матричных дифференциальных
уравнений возникает во многих областях науки и техники [1–3]. Так,
матричные дифференциальные уравнения Ляпунова [4–8] широко ис-
пользуются при анализе свойств устойчивости динамических систем, а
матричные дифференциальные уравнения Риккати [8–12] — при реше-
нии задач теории оптимального управления и в задачах фильтрации. В
настоящей работе рассматриваются линейные матричные дифферен-
циальные уравнения [13–17], к проблеме исследования которых при-
водят различные задачи теории управления. В частности, необходи-
мость качественного анализа линейных матричных дифференциальных
уравнений появляется при построении решений терминальных задач
для аффинных систем [18, 19].
В настоящей работе для линейного матричного дифференциально-
го уравнения
= ( )
( )
W A z W B z
(1)
рассматривается задача установления условий, при выполнении кото-
рых решение
( )
W z
уравнения (1), удовлетворяющее условию
0
( ) =
W z
0
,
W
является симметрическим в области
.
D
В уравнении (1)
z
— ком-
плексная переменная;
= ( )
W W z
— неизвестная матрица размерностью
;
n n
( )
A z
и
( )
B z
— заданные матрицы размерностью
,
n n
аналити-
ческие в односвязной области
D
комплексной плоскости
.
C
Простей-
шие примеры показывают, что симметричность матрицы
0
W
, а также
симметричность матриц
( )
A z
и
( )
B z
в области
D
не являются доста-
точным условием симметричности в области
D
решения
( ).
W z
Цель
работы — получение условий симметричности решения
( ),
W z
удобных
для проверки на практике.
Производные высших порядков решения линейного матрич-
ного дифференциального уравнения.
Из аналитичности в односвяз-
ной области
D
матриц
( )
A z
и
( )
B z
следует, что любое решение
( )
W z
уравнения (1) также является аналитическим в области
D
[15–17].
Установим формулу, которой описываются в области
D
производные
высших порядков решения
( )
W z
уравнения (1).
Теорема 1.
Пусть матрицы
( )
A z
и
( )
B z
аналитичны в односвяз-
ной области D
,
а
( )
W z
— произвольное решение уравнения (1) в обла-
сти D. Тогда для любого номера
= 0, 1, 2,
k
в области
D
выполне-
ны равенства
( )
( ) = ( ) ( )
( ),
k
k
k
W z P z W z Q z
(2)
где
{ ( )},
k
P z
{ ( )}
k
Q z
— последовательности матриц, построенные по
формулам