7 / 10
Рис. 2. Зависимости коэффициента восстановления
k
(
а
) и отношения
Δ
T/T
−
(
б
) от постоянной
d
сухого трения
до удара, тогда
Δ
T
T
−
= 1
−
k
2
=
2
d
1 +
d
зависит только от постоянной
сухого трения (рис. 2,
б
).
Результаты математического моделирования.
Если поверхно-
сти тела и препятствия в окрестности точки соприкосновения сфе-
рические, то сила упругой деформации в соответствии с резуль-
татами, полученными Герцем [4, 5], имеет вид
f
(
x
) =
cx
3
/
2
, где
1
c
=
3
4
1
−
μ
2
1
E
1
+
1
−
μ
2
2
E
2
r
1
R
1
+
1
R
2
,
E
1
,
2
— модули упругости;
μ
1
,
2
— коэффициенты Пуассона;
R
1
,
2
— радиусы поверхностей тела и
препятствия.
В качестве примера рассмотрим удар резинового шарика массой
m
= 0
,
1
кг о массивную бетонную плиту. Для резины
ρ
1
= 1800
кг/м
3
,
E
1
= 0
,
8
∙
10
7
Н/м
2
,
μ
1
= 0
,
5
; для бетона
E
2
= 2750
∙
10
7
Н/м
2
,
μ
2
= 0
,
15
,
радиус шарика
R
1
= 2
,
367
см, коэффициент упругости
c
= 2
,
1873
×
×
10
6
Н/м
3
/
2
. В расчетах примем, что постоянная сухого трения
d
= 0
,
3
.
Тогда коэффициент восстановления
k
= 0
,
73
.
Зависимости перемещения тела (деформации) и контактной силы
взаимодействия тела и препятствия от времени при
V
−
= 0
,
5; 1; 2; 3; 4
и 5 м/с показаны на рис. 3,
а
,
б
, зависимости максимального переме-
щения тела (максимальной деформации) и продолжительности удара
от скорости соударения
V
−
— на рис. 3,
в
,
г
.
Заключение.
На основе моделей удара Герца и Ханта – Кроссли
построена нелинейная упругопластическая модель коллинеарного уда-
ра тела о неподвижное препятствие. Трение между частицами дефор-
мируемых в процессе удара тел является сухим. Получены первые
интегралы уравнений движения в фазах деформирования и восстано-
вления, решение уравнения движения тела в процессе удара в квадра-
турах. В модели удара Герца удар абсолютно упругий. В вязкоупругой
модели удара Ханта – Кроссли удар упругий, коэффициент восстано-
вления уменьшается с увеличением скорости и стремится к единице
при уменьшении скорости соударения. В рамках построенной упруго-
пластической модели удара возможен абсолютно неупругий и упругий
96
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 1