3 / 10
денные в работах [1, 9], опровергают этот результат и показывают, что
с увеличением скорости соударения тел коэффициент восстановления
монотонно убывает.
В волновой теории удара тела являются упругими и нет остаточной
деформации тел [1–3]. Потеря энергии при ударе обусловлена возни-
кающими при ударе упругими звуковыми волнами распространения
деформации. Скорость распространения этих волн равна скорости зву-
ка и зависит от свойств материала. В инженерной практике волновая
теория используется для расчета удара стержней о препятствие.
Если время прохождения упругих волн через все тело меньше про-
должительности удара и происходит несколько отражений волн за вре-
мя удара, то влиянием упругих волн можно пренебречь [1–4]. На та-
ких предположениях строится контактная теория удара, разработанная
Г. Герцом, который предположил, что упругая сила контактного взаи-
модействия тел при ударе зависит от деформации
x
так же, как и в
случае статического равновесия [1–5]. Он показал, что если тело и пре-
пятствие в окрестности точки соприкосновения имеют сферическую
поверхность и их деформации малы по сравнению с их радиусами,
то с учетом увеличения пятна контакта в связи с возрастанием де-
формации
x
сила упругого взаимодействия равна
F
(
x
) =
−
cx
3
/
2
, где
c
— константа, значение которой определяется радиусами сферических
поверхностей и материалом, из которого изготовлены тела. Герц рас-
смотрел абсолютно упругий удар [4, 5]. При этом уравнение движение
тела имеет интеграл энергии и интегрируется в квадратурах, т.е. его
решение сводится к вычислению определенного интеграла. Результа-
ты Герца хорошо согласуются с экспериментальными данными [1].
К. Хант и Ф. Кроссли обобщили модель удара Герца, ввели в нее
силу вязкого трения между частицами соударяющихся тел [6]. По-
скольку при увеличении пятна контакта возрастает число частиц тру-
щихся друг о друга, они предположили, что сила вязкого трения уве-
личивается пропорционально упругой силе взаимодействия тел. Тогда
контактная сила взаимодействия тела и препятствия определяется по
соотношению
F
=
F
(
x,
˙
x
) =
−
cx
n
−
bcx
n
˙
x
, где
c
— коэффициент
упругости;
b
— коэффициент сопротивления;
n
— постоянная, которая
определяется формой поверхности тела и препятствия в окрестности
точки соприкосновения;
x
— перемещение тела (деформация),
x
≥
0
. В
частности, для сферической поверхности тел
n
= 3
/
2
, для плоской —
n
= 1
. Коэффициент восстановления является монотонно убывающей
функцией скорости соударения [6]. При малых скоростях соударения
V
−
коэффициент восстановления линейно зависит от этой скорости:
k
= 1
−
(2
/
3)
bV
−
. При исследовании такой модели удара Хант и
92
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 1