5 / 14
где
ˉΣ
ξαN
= Σ
ξαN
T
˜
V
ξ
— поверхности контакта компонентов внутри
подобласти, координатные плоскости
Σ
s
=
{
ξ
s
= 0
}
, торцевые поверх-
ности ЯП
Σ
0
s
=
{
ξ
s
= 1
/
2
}
,
s
= 1
,
2
,
3
.
К задачам (5) присоединяются
граничные условия на 1/8 ЯП
ϑ
∗
α
(
p
)
Σ
0
p
=
a
p
2
ˉ
E
∗
p
, ϑ
∗
α
(
p
)
Σ
p
= 0;
ϑ
∗
α
(
p
)
/i
Σ
i
= 0
, ϑ
∗
α
(
p
)
/i
Σ
0
i
= 0
, p
6
=
i.
(6)
Задачи
L
p
имеют “классический” вид относительно функций
ϑ
∗
α
(
p
)
(
ξ
j
)
,
т.е. являются контактными задачами электростатики с граничными
условиями на поверхности области
˜
V
ξ
.
Компоненты тензора эффективной комплексной диэлектрической
проницаемости композита определяются как
ˉ
ε
∗
ip
=
ˉ
D
∗
i
(
p
)
ˉ
E
∗
p
,
(7)
где
ˉ
D
∗
i
(
p
)
=
< D
∗
α
i
(
p
)
>
=
N
X
α
=1
Z
V
(
α
)
D
∗
α
i
(
p
)
dV
— осредненные по объему ЯП
компоненты вектора индукции электрического поля.
Численное моделирование распределения электрического по-
тенциала в ЯП наноструктурированного композита.
Вариационная
формулировка задач
L
p
электростатики на области
˜
V
ξ
1/8 ЯП имеет вид
Z
˜
V
ξ
δ
(
ϑ
∗
(
p
)
/i
)
εϑ
∗
(
p
)
/i
dV
ξ
=
Z
Σ
1
δϑ
∗
(
p
)
D
∗
e
i
(
p
)
d
Σ
.
(8)
Здесь
~D
∗
e
i
(
p
)
— комплексная амплитуда вектора индукции внешнего по-
ля, заданного на поверхности ЯП композита
Σ
1
; на поверхности
Σ
2
заданы нулевые граничные условия;
δϑ
∗
(
p
)
и
δ
(
ϑ
∗
(
p
)
/i
)
— виртуальное
изменение псевдопотенциала и производная виртуального изменения.
При конечно-элементной реализации [11] вариационная задача (8)
сводится к системе линейных алгебраических уравнений
[
K
∗
]
{
ˆ
ϑ
∗
(
p
)
}
=
{
f
∗
}
,
(9)
где
[
K
∗
]
— глобальная матрица “жесткости”;
{
ˆ
ϑ
∗
(
p
)
}
— вектор узловых
значений псевдопотенциала
ϑ
∗
(
p
)
в узлах конечных элементов;
{
f
∗
}
—
глобальный столбец внешних нагрузок.
Численное решение системы (9) осуществлялось с применением
метода бисопряженных градиентов с ILDU-факторизацией, реализо-
ванного в рамках программного комплекса SMCM, разработанного
80
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 1