3 / 7
Была найдена частная производная функции
F
по
N
i
, которую
приравняли нулю для нахождения максимума:
∂F
∂N
i
=
k
Б
(ln(
N
Б
i
+
Z
i
−
1)
−
ln
N
Б
i
+
+ ln(
Z
i
−
N
Ф
i
)
−
ln
N
Ф
i
) +
λ
1
+
λ
2
E
i
+
4
π
3
λ
3
r
i
= 0
.
(1)
После преобразования выражение (1) примет вид
ln
N
Б
i
+
Z
i
−
1
N
Б
i
+ ln
Z
i
−
N
Ф
i
N
Ф
i
=
−
λ
1
+
λ
2
E
i
+
4
π
3
λ
3
r
i
k
Б
,
что эквивалентно соотношению
N
Б
i
+
Z
i
−
1
N
Б
i
Z
i
−
N
Ф
i
N
Ф
i
= exp
−
λ
1
+
λ
2
E
i
+
4
π
3
λ
3
r
i
k
Б
.
Левая часть равенства преобразована с помощью умножения на
Z
2
i
/Z
2
i
в равенство
n
Б
i
+ 1
n
Б
i
1
−
n
Ф
i
n
Ф
i
= exp
−
λ
1
+
λ
2
E
i
+
4
π
3
λ
3
r
i
k
Б
.
(2)
Для сравнения с известными статистиками был рассмотрен част-
ный случай неограниченного объема. Тогда в предположении, что кон-
центрация фермионов устремляется к нулю (фермионов много мень-
ше, чем бозонов):
n
Б
i
+ 1
n
Б
i
= exp
−
λ
1
+
λ
2
E
i
+
4
π
3
λ
3
r
i
k
Б
−
K
,
где
K
= ln
1
−
n
Ф
i
n
Ф
i
. Поскольку величины
K
и
λ
1
постоянны, их сумма
также является постоянной. Таким образом,
n
Б
i
+ 1
n
Б
i
= exp
−
λ
0
1
+
λ
2
E
i
+
4
π
3
λ
3
r
i
k
Б
.
Множители Лагранжа рассчитываются исходя из того, что диффе-
ренциал
F
должен быть равен нулю:
dS
=
−
λ
0
1
dN
−
λ
2
dE
=
dE
T
.
Откуда
λ
2
=
−
1
/T
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 1
71