при
ˉ
λ >
1
R
0
3
=
1
2
b
1
−
r
Z
0
dx
3
a
3
−
x
2
3
=
1
2
b
√
a
3
ln
√
a
3
+ 1
−
r
√
a
3
−
1 +
r
,
при
ˉ
λ <
0
R
0
3
=
1
−
r
Z
0
dx
3
1 + 2
br
2
+ 2
|
b
|
x
2
3
=
r
|
b
|
/
2
1 + 2
br
2
arctg
p
2
|
b
|
(1
−
r
)
√
1 + 2
br
2
.
Для промежуточного слоя такая же оценка равна
при
ˉ
λ >
1
R
00
3
=
r
Z
1
−
r
dx
3
1 + 2
b
(2
r
2
−
x
2
3
−
(1
−
x
3
)
2
)
=
1
2
b
√
Δ
3
ln
2
r
−
1 +
√
Δ
3
2
r
−
1
− √
Δ
3
,
где
Δ
3
= 4
r
2
−
1 + 1
/b >
0
,
при
ˉ
λ <
1
,
Δ
3
<
0
R
00
2
=
1
p
b
2
|
Δ
3
|
arctg
2
r
−
1
p
|
Δ
3
|
.
В итоге для искомой оценки при
1
/
2
< r
6
√
3
/
2
запишем
b
λ
+
3
= 1
/
(2
R
0
3
+
R
00
3
)
.
При построении нижней оценки
λ
−
3
для рассматриваемого пред-
ставительного элемента в случае
r
2
(0; 1
/
2]
после модификации фор-
мулы (4) получим
e
λ
−
3
=
λ
−
3
λ
m
= 1
−
πr
2
+
2
π
b
1
r
−
ln(1 +
b
1
r
)
b
1
.
Для вычисления интеграла в формуле (2) в случае
r
2
(1
/
2; 1
/
√
2)
вы-
делим четыре подобласти интегрирования (рис. 3). Подобласть
1
0
—
сектор окружности радиусом
r
3
= 1
−
r
с углом
π/
2
при верши-
не. Составляющая относительной тепловой проводимости элемента,
соответствующая этой подобласти, после модификации формулы (4)
примет вид
Y
0
1
=
π/
2
b
1
r
−
ln(1 +
b
1
r
)
b
1
.
Подобласть
2
0
ограничена дугами окружностей радиусами
r
3
и
r
,
дугой
A
0
B
0
радиусом
r
окружности с центром в точке с координата-
ми
x
1
= 1
,
x
2
= 0
и биссектрисой координатного угла (см. рис. 3).
Перейдем к полярной системе координат и в соответствии с теоремой
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 5
101
