фективного коэффициента теплопроводности этого элемента, отожде-
ствляемую с таким же коэффициентом композита соответствующей
структуры, можно представить в виде [6, 11, 12]
λ
+
=
1
Z
0
dx
3
1
Z
0
1
Z
0
λ
(
x
1
, x
2
, x
3
)
dx
1
dx
2
−
1
−
1
,
(1)
а нижнюю оценку — в виде
λ
−
=
1
Z
0
1
Z
0
dx
1
dx
2
1
Z
0
dx
3
λ
(
x
1
, x
2
, x
3
)
.
(2)
После применения формул (1) и (2) к рассматриваемому предста-
вительному элементу ПК матричной структуры находим
e
λ
+
1
=
λ
+
1
λ
m
= 1
−
r
+
1
b
r
Z
0
dx
3
a
1
−
x
2
3
−
1
= 1
−
r
+
1
2
b
√
a
1
ln
√
a
1
+
r
√
a
1
−
r
−
1
,
(3)
где
b
= ( ˉ
λ
−
1)
π/
4
;
ˉ
λ
=
λ
◦
/λ
m
;
a
1
= 1
/b
+
r
2
; при
b
1
= 1
/
ˉ
λ
−
1
e
λ
−
1
=
λ
−
1
λ
m
=
= 1
−
π
r
2
4
+
π
4
r
Z
0
ρdρ
1 +
b
1
p
r
2
−
ρ
2
= 1
−
π
r
2
4
+
π
2
b
1
r
−
ln(1 +
b
1
r
)
b
1
.
(4)
Если
ˉ
λ <
1
, то
b <
0
и вместо формулы (3) получим
1
e
λ
+
1
= 1
−
r
+
r
Z
0
dx
3
1 +
br
2
+
|
b
|
x
2
3
= 1
−
r
+
1
p
(1 +
br
2
)
|
b
|
arctg
p
|
b
|
r
√
1 +
br
2
.
(5)
Формулы (3)–(5) могут быть преобразованы к виду, представлен-
ному в работах [6, 12].
Оценки для ОЦК матричной структуры.
Представительный
элемент ОЦК матричной структуры выберем в виде куба со сторо-
ной, равной единице, являющегося 1/8 частью повторяющейся ячейки
ОЦК-решетки (см. рис. 1,
б
). В таком элементе будут расположены
два фрагмента одинаковых шаровых включений с безразмерным ра-
диусом
r
6
√
3
/
2
и центрами на концах диагонали куба, выходящей
из начала координат. Наибольшая возможная объемная концентрация
включений составляет
C
V
= (
π
√
3)
/
8
≈
0
,
6802
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 5
97
