Если ввести обозначение
β
= 1 +
δ
, где
δ
=
γ
0
/
(2
α
)
, и принять
δ
1
, то выражение (10) можно представить в виде распределения
Коши [11]:
f
(
V
) =
1
−
Cδ
π
(1
−
(
C
+ 2ln2))
r
αm
γ
0
kT
(
γ
0
kT
)
1+
δ
(
γ
0
kT
+
αmV
2
)
1+
δ
δ
1
.
(11)
Здесь
C
= 0
,
577
— постоянная Эйлера и учтены асимптотики гамма-
функции [16].
Если
α
= 0
, то
A
2
= 0
, а
β
→ ∞
. В этом случае функция распре-
деления (10) принимает вид распределения Максвелла:
f
(
V
) =
r
m
2
πkT
exp
−
mV
2
2
kT
.
(12)
Формулу (12) можно получить путем решения уравнения (4) при
α
= 0
и
F
0
= 0
. Таким образом, соотношение между параметрами
γ
0
и
α
определяет вид функции распределения. При
γ
0
α
функция рас-
пределения близка к распределению Коши (11), а при
γ
0
α
— к
распределению Максвелла (12).
Если
β >
5
/
2
(
γ
0
>
3
α
), то формула (10) позволяет определить
кумулянты второго и четвертого порядка флуктуаций скорости бро-
уновской частицы [15]:
k
2
=
V
2
=
Γ (
β
)
√
π
Γ (
β
−
1
/
2)
r
αm
γ
0
kT
∞
Z
−∞
V
2
1 +
αm
γ
0
kT
V
2
β
dV
=
=
γ
0
γ
0
−
α
kT
m
;
(13)
k
4
=
V
4
=
Γ (
β
)
√
π
Γ (
β
−
1
/
2)
r
αm
γ
0
kT
∞
Z
−∞
V
4
1 +
αm
γ
0
kT
V
2
β
dV
=
=
3
γ
2
0
(
γ
0
−
α
) (
γ
0
−
3
α
)
kT
m
2
.
(14)
Формулы (13) и (14) дают возможность рассчитать эксцесс функ-
ции распределения
κ
4
=
k
4
−
3
k
2
2
k
2
2
=
6
α
γ
0
−
3
α
.
При
α
→
0
эксцесс также стремится к нулю (
κ
4
→
0
), что соответству-
ет стремлению функции распределения (10) в указанном предельном
случае к распределению Максвелла (12).
30
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 3
