На
2
n
-
м шаге она заканчивает блуждание в ячейке
a
nn
.
Появление еди
-
ницы в
z
соответствует скачку частицы вниз
,
появление нуля
—
ее скач
-
ку вправо
.
Присвоим каждой траектории
ω
частицы вероятность
p
(
ω
)
,
равную вероятности соответствующего
z
.
Пусть
A
0
⊂
A
—
произвольный подмассив
.
Теорема
1
.
Вероятность невыхода траектории из
A
0
равна величи
-
не
π
nn
,
которую можно получить повторным применением соотноше
-
ний
π
i j
=
µ
π
i
,
j
−
1
2
(
i
−
j
+
1
)
i
+
j
+
π
i
−
1
,
j
j
i
+
j
¶
χ
i j
(
A
0
)
,
n
>
i
>
j
>
0
,
π
ii
=
π
i
,
i
−
1
1
i
,
i
=
1
,
2
, . . . ,
n
,
(4)
с начальными и граничными условиями
π
00
=
χ
00
(
A
0
)
,
π
i
,
i
−
1
=
0
,
i
=
1
,
2
, . . . ,
n
;
(
5
)
здесь
χ
i j
(
A
0
) =
½
1
при
a
i j
∈
A
0
,
0
при
a
i j
6
∈
A
0
.
Доказательство
.
Нетрудно видеть
,
что вероятность каждой траек
-
тории можно представить в виде
p
(
ω
) =
2
n
∏
k
=
1
2
1
−
z
k
¡
k
−
2
v
k
+
1
¢
1
−
z
k
v
z
k
k
k
=
2
n
∏
k
=
1
λ
k
(
ω
)
.
(
6
)
Пусть
ω
i j
— “
частичная
”
траектория
,
оканчивающаяся в
a
i j
(
со
-
ответствующий вектор
z
содержит
i
единиц и
j
нулей на первых
i
+
j
местах
).
Обозначим
p
i j
=
i
+
j
∏
k
=
1
λ
k
³
ω
i j
´
.
Согласно выражению
(6),
веро
-
ятность любой траектории частицы
,
совершающей скачок
a
i
−
1
,
j
→
a
i j
(
или
a
i
,
j
−
1
→
a
i j
),
имеет множитель
j
/
(
i
+
j
)
(
или
,
соответственно
,
2
(
i
−
j
+
1
)
/
(
i
+
j
))
.
Пусть
π
i j
=
∑
ω
i j
p
i j
.
Тогда соотношения
(4)
следуют
из того
,
что в
a
i j
за один шаг можно попасть только из
a
i
−
1
,
j
или
a
i
,
j
−
1
(
при
i
=
j
—
только из
a
i
,
j
−
1
).
Граничные условия обеспечивают ра
-
венство нулю вероятностей траекторий
,
не лежащих полностью в
A
0
.
Теорема доказана
.
Пусть
ϕ
(
i
,
j
)
—
произвольная функция
,
определенная на множе
-
стве целочисленных пар
(
i
,
j
)
, 0
≤
j
≤
i
≤
n
.
Тогда справедливо
Следствие
.
Имеем
P
µ
max
0
6
k
6
2
n
ϕ
¡
v
k
,
k
−
v
k
¢ ¶
=
π
nn
(
h
)
,
ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2003.
№
2 31
