имеют место равенства
A
1
=
A
2
= 1;
k
1
=
k
2
= 0
.
При действии на стержень продольной сжимающей нагрузки
T
e
11
в
основном состоянии в нем возникает состояние одноосного растяже-
ния (сжатия), которое описывается уравнениями (это решение системы
уравнений (21), (20), (13)):
U
0
1
=
−
T
0
X
1
/
ˉ
C
11
+
U
10
;
e
0
11
=
−
T
0
/
ˉ
C
11
;
T
0
11
=
−
T
0
=
const
;
T
0
αβ
= 0
, M
0
αβ
= 0
, Q
0
α
= 0
.
Здесь
U
10
— постоянная интегрирования, определяемая из гранично-
го условия на торце стержня. Все остальные основные неизвестные
функции в данной задаче (
U
0
2
,
γ
0
1
,
γ
0
2
и
w
0
) тождественно равны нулю.
Варьированное (неустойчивое) состояние балки будем искать по-
добно решению задачи изгиба балки, в котором отличны от нуля две
основные функции:
w
(0)
3
(прогиб) и
w
(1)
1
(угол поворота); причем эти
функции зависят только от продольной координаты
X
1
:
w
(0)
3
, w
(1)
1
k
X
1
;
w
(0)
1
= 0;
w
(0)
2
= 0;
w
(1)
2
= 0
.
(28)
Подставляя решение (28) в кинематические соотношения (6), на-
ходим компоненты сопутствующего вектора
ω
(0)
1
= 0;
ω
(0)
2
=
1
2
(
w
(0)
3
,
1
−
w
(1)
1
);
ω
(0)
3
= 0;
ω
(1)
α
= 0
, α
= 1
,
2
,
3
.
(29)
Подставив выражения (29) в (8), получим
˘
ω
(0)
α
= 0; ˘
ω
(1)
α
= 0;
α
= 1
,
2
,
3;
ω
(0)
12
=
ω
(0)
2
,
1
=
1
2
(
w
(0)
3
,
11
−
w
(1)
1
,
1
);
остальные
ω
(0)
ij
= 0
,
(30)
т.е. ненулевой является только одна компонента
ω
(0)
12
. После подста-
новки (30) в (10) определим, что компонента
B
(0)
12
также ненулевая:
B
(0)
12
=
ω
(0)
12
=
ω
(0)
2
,
1
=
1
2
(
w
(0)
3
,
11
−
w
(1)
1
,
1
);
остальные
B
(0)
ij
= 0
, B
(1)
ij
= 0
.
(31)
Учитывая, что из всех величин
T
0
αβ
,
M
0
αβ
и
Q
0
α
основного состояния
отлична от нуля только компонента
T
0
11
, из (26) получаем
F
eα
= 0;
M
eα
= 0
, α
= 1
,
2;
F
e
3
=
B
(0)
12
T
0
11
=
1
2
(
w
(0)
3
,
11
−
w
(1)
1
,
1
)
T
0
11
.
(32)
Подставляя решение (28) в кинематические соотношения (12), нахо-
дим, что ненулевыми являются только деформация сдвига
e
13
и ис-
кривление
κ
11
:
e
13
=
1
2
(
w
(0)
3
,
1
−
w
(1)
1
);
e
11
=
e
22
=
e
12
=
e
23
= 0;
(33)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 2
85
