κ
0
αα
=
γ
α,α
A
α
+
A
α,β
A
1
A
2
γ
β
, α, β
= 1
,
2
, α
6
=
β
;
κ
0
12
=
A
1
A
2
γ
1
A
1
,
2
+
A
2
A
1
γ
2
A
2
,
1
.
Напряжения и определяющие соотношения для основного и ва-
рьированного состояний.
Физические компоненты
σ
0
ij
тензора напря-
жений основного состояния связаны с компонентами тензора дефор-
маций
ε
0
αβ
обобщенным законом Гука [16, 17], поэтому для компонент
σ
0
ij
запишем следующие выражения:
σ
0
ij
=
σ
0(0)
ij
+
X
3
σ
0(1)
ij
,
(14)
где
σ
0(0)
αα
=
C
αα
e
0
αα
+
C
αβ
e
0
ββ
;
σ
0(1)
αα
=
C
αα
κ
0
αα
+
C
αβ
κ
0
ββ
, α, β
= 1
,
2;
(15)
σ
0(0)
12
= 2
C
66
e
0
12
;
σ
0(1)
12
= 2
C
66
κ
0
12
;
σ
0(0)
23
= 2
C
44
e
0
23
;
σ
0(1)
23
= 0;
σ
0(0)
13
= 2
C
55
e
0
13
;
σ
0(1)
13
= 0;
σ
0(0)
33
= 0;
σ
0(1)
33
= 0
.
Здесь
C
αβ
, α, β
= 1
, . . . ,
6
— компоненты тензора модулей упругости
материала оболочки. Поскольку упругие свойства материала оболочки
одинаковы в основном и варьированном состояниях, для напряжений
σ
ij
в варьированном состоянии справедливы аналогичные формулы:
σ
ij
=
σ
(0)
ij
+
X
3
σ
(1)
ij
,
(16)
где
σ
(0)
αα
=
C
αα
e
αα
+
C
αβ
e
ββ
;
σ
(1)
αα
=
C
αα
κ
αα
+
C
αβ
κ
ββ
, α, β
= 1
,
2;
σ
(0)
12
= 2
C
66
e
12
;
σ
(1)
12
= 2
C
66
κ
12
;
σ
(0)
13
= 2
C
55
e
13
;
(17)
σ
(0)
23
= 2
C
44
e
23
;
σ
(1)
23
= 0;
σ
(0)
33
= 0;
σ
(1)
33
= 0
.
Усилия и моменты в основном и варьированном состояниях
оболочки.
Усилия
T
αβ
,
T
0
αβ
, моменты
M
αβ
,
M
0
αβ
и перерезывающие
силы
Q
α
,
Q
0
α
в основном и варьированном состояниях оболочки вво-
дим по стандартным формулам теории тонких оболочек [17] с учетом
допущения (1) и формул (14), (15)
T
αβ
=
h/
2
Z
−
h/
2
σ
αβ
dX
3
=
hσ
(0)
αβ
;
T
0
αβ
=
h/
2
Z
−
h/
2
σ
0
αβ
dX
3
=
hσ
0(0)
αβ
;
M
αβ
=
h/
2
Z
−
h/
2
σ
αβ
X
3
dX
3
=
h
3
12
σ
(1)
αβ
;
M
0
αβ
=
h/
2
Z
−
h/
2
σ
0
αβ
X
3
dX
3
=
h
3
12
σ
0(1)
αβ
;
(18)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 2
81
