возможное уточнение вида фиктивных массовых сил может быть до-
стигнуто с использованием в качестве исходных соотношений общих
трехмерных уравнений теории устойчивости. Цель настоящей рабо-
ты — вывод уравнений теории устойчивости оболочек типа Тимошен-
ко из общих трехмерных уравнений теории устойчивости, которые в
свою очередь были получены из трехмерных уравнений обобщенной
трехмерной теории устойчивости нелинейно-упругих тел в частях 1
и 2 данной работы [13, 14].
Основные допущения теории оболочек типа Тимошенко для
устойчивого и варьированного состояний.
Рассмотрим оболочку по-
стоянной толщины
h
, которая является линейно-упругой ортотропной
средой; главные оси ортотропии оболочки направлены по касатель-
ным к линиям главных кривизн
X
α
срединной поверхности оболоч-
ки (
α
= 1
,
2
). В системе ортогональных координат
X
i
с ортогональ-
ным базисом
ˆr
i
уравнение срединной поверхности оболочки имеет
вид
X
3
= 0
; уравнения боковых поверхностей оболочки —
X
3
=
±
h/
2
.
Примем следующие основные допущения классической теории оболо-
чек типа Тимошенко, используя обозначения, взятые из работ [14, 15].
1. Оболочка является тонкой, поэтому для параметров Ламе
H
γ
=
√
g
γγ
оболочки можно ввести соотношения:
H
3
= 1;
H
α
=
A
α
;
H
α
3
≡
∂H
α
/∂X
3
=
k
α
A
α
;
X
3
k
α
1
, α
= 1
,
2
,
(1)
где
A
α
— коэффициенты первой квадратичной формы;
k
α
— главные
кривизны срединной поверхности оболочки.
2. Компоненты
u
α
вектора перемещений
u
0
оболочки в основном
(устойчивом) состоянии и компоненты
w
α
вектора перемещений
w
из
устойчивого в неустойчивое (варьированное) состояние полагаются
линейными функциями координаты
X
3
:
u
α
=
U
α
+
X
3
γ
α
, α
= 1
,
2;
u
3
=
W
;
w
α
=
w
(0)
α
+
X
3
w
(1)
α
, α
= 1
,
2
,
3;
(2)
U
1
, U
2
, γ
1
, γ
2
, W
k
X
1
, X
2
;
(3)
w
(0)
1
, w
(0)
2
, w
(0)
3
, w
(1)
1
, w
(1)
2
k
X
1
, X
2
;
w
(1)
3
≡
0
,
(4)
где
U
1
, U
2
— перемещения срединной поверхности;
γ
1
, γ
2
— углы пово-
рота нормали;
W
— прогиб срединной поверхности оболочки в основ-
ном состоянии. Пять функций (3) и пять функций (4) зависят только
от координат
X
1
и
X
2
.
3. Нормальными поперечными напряжениями в оболочке в основ-
ном (
σ
0
33
) и в варьированном (
σ
33
) состояниях можно пренебречь:
σ
0
33
= 0;
σ
33
= 0
.
78
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 2
