Подставив формулу (7) в выражение (6), запишем связь между
автокорреляционной функцией и ее спектром
h
θ
f
(
t
0
)
θ
f
(
t
00
)
i
=
θ
2
f
Ψ
f
(
t
0
−
t
00
) =
=
θ
2
f
2
π
∞
Z
−∞
dω
00
ψ
f
(
ω
00
)
∞
Z
−∞
dω
0
e
iω
0
t
0
+
iω
00
t
00
δ
(
ω
0
+
ω
00
) =
=
θ
2
f
2
π
∞
Z
−∞
e
−
iω
(
t
0
−
t
00
)
ψ
f
(
ω
)
dω
;
Ψ
f
(
t
) =
1
2
π
∞
Z
−∞
e
−
iωt
ψ
f
(
ω
)
dω.
(8)
При
t
0
=
t
00
из формулы (8) определим условие нормировки спектра
1
2
π
∞
Z
−∞
ψ
f
(
ω
)
dω
= 1
.
(9)
Процедура нахождения спектра по автокорреляционной функции
следует из формулы (8):
ψ
f
(
ω
) =
∞
Z
−∞
e
iωs
Ψ
f
(
s
)
ds.
(10)
На основе спектрального представления (5) получим условие диф-
ференцируемости случайного процесса: процесс дифференцируем,
если существует величина
(
dθ
f
/dt
)
2
[21]. Рассмотрим более общую
корреляцию
dθ
f
(
t
0
)
dt
dθ
f
(
t
00
)
dt
=
−
1
(2
π
)
2
ZZ
ω
0
ω
00
e
iω
0
t
0
+
iω
00
t
00
h
dσ
(
ω
0
)
dσ
(
ω
00
)
i
.
Для раскрытия корреляции случайных мер используем функцио-
нальный вид (7), тогда
dθ
f
(
t
0
)
dt
dθ
f
(
t
00
)
dt
=
−
1
2
π
∞
Z
−∞
dω
00
ω
00
ψ
f
(
ω
00
)
∞
Z
−∞
dω
0
ω
0
e
iω
0
t
0
+
iω
00
t
00
δ
(
ω
0
+
ω
00
) =
=
θ
2
f
2
π
∞
Z
−∞
e
−
iω
(
t
0
−
t
00
)
ω
2
ψ
f
(
ω
)
dω.
(11)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 2
9
