где
m
p
— масса частицы, кг;
S
p
=
πd
2
p
— площадь поверхности части-
цы, м
2
;
V
p
=
πd
3
p
/
6
— объем сферической частицы, м
3
;
A
— предэкс-
поненциальный множитель, моль/(м
3
∙
с);
R
◦
— универсальная газовая
постоянная, Дж/(моль
∙
K);
c
p
— теплоемкость материала частицы.
Уравнение для температуры частицы можно переписать в релакса-
ционном виде
d
Θ
p
dt
=
Θ
f
−
Θ
p
τ
Θ
+
QA
ρ
p
c
p
e
−
E
R
◦
Θ
p
.
(1)
Здесь
τ
Θ
=
d
p
c
p
/α
p
— время тепловой релаксации частицы, т.е. харак-
терное время, за которое температура частицы достигает постоянной
температуры жидкой среды.
Уравнение (1) приводим к безразмерному виду. Выбираем соответ-
ствующие масштабы. Поскольку далее исследуется влияние флуктуа-
ций температуры несущей фазы, температура жидкой фазы задается
как
Θ
f
(
t
) =
h
Θ
f
i
+
θ
f
(
t
)
,
где осредненная температура
h
Θ
f
i
не зависит от времени и однород-
на в пространстве; угловые скобки обозначают осреднение по мно-
жеству случайных “траекторий” в пространстве температур — осред-
нение по ансамблю. Флуктуации температуры среды
θ
f
заданы так,
что
h
θ
f
i
= 0
. В качестве временн´ого масштаба выбран интегральный
временн´ой масштаб
T
E
затухания автокорреляционной функции тем-
пературы среды. Определение этого масштаба будет приведено далее.
Масштаб температуры — осредненная температура несущей среды.
Для выбранных масштабов уравнение (1) принимает вид
d
Γ
p
dτ
=
(1 +
γ
f
)
−
Γ
p
Ω
Θ
+
Q e
−
E
Γ
p
,
(2)
где
τ
=
t/T
E
— безразмерное время;
Γ
p
= Θ
p
/
h
Θ
f
i
— безразмер-
ная температура частицы;
Ω
Θ
=
τ
Θ
/T
E
— параметр тепловой инерции
частицы;
γ
f
=
θ
f
/
h
Θ
f
i
— безразмерные флуктуации температуры не-
сущей среды;
E
=
E/R
◦
h
Θ
f
i
— безразмерная энергия активации;
Q
=
QA/
(
ρ
p
c
p
h
Θ
f
i
)
— безразмерная мощность тепловыделений.
Согласно уравнению (2), температура частицы изменяется в ре-
зультате двух механизмов: 1) теплоотдачи с поверхности (первое сла-
гаемое в правой части уравнения); 2) тепловыделения (второе слагае-
мое в правой части уравнения).
На основе анализа диаграммы Семенова покажем существование
критической температуры, бесконечно малое превышение, которой
приводит к неконтролируемому увеличению температуры частицы —
6
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 2
