МАТЕМАТИКА
УДК 515.12
Э. Н. Б е л я н о в а
О БИКОМПАКТНЫХ РАСШИРЕНИЯХ
ЛОКАЛЬНО БИКОМПАКТНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Приведено иное, чем в теореме Магилла, описание всех наростов би-
компактификаций локально бикомпактного хаусдорфова простран-
ства, а также обобщение этого описания и теоремы Магилла на
локально бикомпактные хаусдорфовы отображения.
В настоящей работе пространство будем понимать как топологи-
ческое пространство, непрерывное отображение — как непрерывное
отображение пространств, бикомпактификацию — как хаусдорфову би-
компактификацию пространства или отображения.
Теорема Магилла
[1].
Бикомпакт
В
является наростом некото-
рой бикомпактификации локально бикомпактного хаусдорфова про-
странства
Х
тогда и только тогда, когда
В
есть непрерывный образ
стоун-чеховского нароста
β
Х
\
Х
.
Первое описание всех наростов бикомпактификаций локально
бикомпактного хаусдорфова отображения (теорема Магилла для
отображений).
Напомним, что непрерывное отображение называет-
ся
бикомпактным
, если оно совершенно. Непрерывное отображение
f
:
X
→
Y
называется
хаусдорфовым
, если для любых двух точек
x
и
x
0
из
X
таких, что
x
6
=
x
0
,
f
(
x
) =
f
(
x
0
)
, существуют в
X
дизъюнкт-
ные окрестности. Непрерывное отображение
f
:
X
→
Y
называется
локально бикомпактным
, если для любой точки
x
из
X
существу-
ют окрестность
U
в
X
и окрестность
V
точки
f
(
x
)
в
Y
такие, что
U f
−
1
V
и отображение
f
: [
U
]
f
−
1
V
→
V
бикомпактно.
Обобщим теорему Магилла на локально бикомпактные хаусдорфо-
вы отображения.
Теорема 1.
Бикомпактное хаусдорфово отображение
g
:
Z
→
Y
является наростом некоторой бикомпактификации локально би-
компактного бикомпактифицируемого хаусдорфова отображения
f
:
X
→
Y
тогда и только тогда
,
когда существует морфизм наро-
ста
χf
\
f
максимальной бикомпактификации
χf
отображения
f
на
отображение
g
.
Доказательство.
Пусть отображение
g
является наростом неко-
торой бикомпактификации локально бикомпактного бикомпактифици-
руемого хаусдорфова отображения
f
. Существование максимальной
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 1
3
