О бикомпактных расширениях локально бикомпактных отображений - page 2

бикомпактификации χf для отображения f доказано в статье [5]. Су-
ществование морфизма нароста χf \f максимальной бикомпактифи-
кации χf отображения f на нарост g очевидно.
Пусть λ — морфизм нароста χf \f на отображение g. Докажем, что
морфизм λ совершенен. Нарост χf X\X замкнут в χf X и отображение
χf бикомпактно, следовательно, бикомпактно отображение χf \f . По-
скольку χf \f = g ◦ λ, отображение χf \f бикомпактно и отображение
g хаусдорфово, то λ — совершенное отображение [4].
Пусть сf Х — дизъюнктное объединение множеств X и Z , и пусть
ϕ = idX ∪λ : χX → X ∪Z . Введем на множестве сf Х факторную отно-
сительно отображения ϕ топологию. Поскольку множество Х открыто
в χ Х , то на множестве X cf X индуцируется исходная топология и
оно открыто в с f Х , кроме того, оно всюду плотно в сf Х . Рассмотрим
отображение с f : X ∪ Z → Y такое, что χf = cf ◦ ϕ. Это отображение
непрерывно (так как непрерывно χf и факторно ϕ) и бикомпактно (так
как бикомпактно χf ) . Следовательно, отображение с f : X ∪ Z → Y
является бикомпактификацией отображения f , для которой cf \f = g
(как отображение множества).
Докажем, что исходная топология пространства Z совпадает с
ограничением топологии пространства сf Х на множество Z . Пусть
множество А замкнуто в исходном пространстве Z; тогда множество
ϕ−1 А = λ−1 А замкнуто в замкнутом в χf X множестве χ f X \X и, сле-
довательно, замкнуто в χ f X . Получаем, что множество А замкнуто
в пространстве сf Х . Обратно, если множество А Z = cf X \X за-
мкнуто в с f X \X, то оно замкнуто в сf Х и множество ϕ−1 А замкнуто
в χ f X и в χ f X \X. Поскольку морфизм λ совершенный, то множе-
ство А = λλ−1( А ∩ Z ) замкнуто в исходной топологии пространства
Z . Следовательно, нарост с f \f гомеоморфен отображению g.
Докажем хаусдорфовость бикомпактификации с f . Для этого снача-
ла докажем, что отображение ϕ совершенно. Поскольку совершенное
отображение λ определено на замкнутом подмножестве пространства
χf X\X , то для любого замкнутого в χf X множества А множество
ϕ−1 ϕА = А ∪ λ−1 λ(А ∩ ( χf X\X ))
замкнуто. Получаем, что отображение ϕ замкнуто и, очевидно, совер-
шенно.
Пусть теперь различные точки х1 , х 2 принадлежат пространству
сf Х и с f ( x1 ) = cf ( x2 ) = y. Поскольку отображение ϕ совершенно,
а отображение χf хаусдорфово, то дизъюнктные бикомпактные мно-
жества ϕ−1х 1 и ϕ−1 х 2 отделимы насыщенными окрестностями W1 и
W2 в χf X . Образы ϕW1 и ϕW2 и будут дизъюнктными окрестностями
точек х 1 , х 2 . Хаусдорфовость отображения cf доказана.
4 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 1