то существуют бикомпактификация
cf
:
c
f
X
→
Y
отображения
f
такая
,
что
cf
\
f
=
e
g,
и морфизм
cλ
:
cf
→
g
такой
,
что
cλ
являет-
ся продолжением морфизма
λ
и
cλ
:
cf
\
f
→
e
g
— изоморфизм
cf
\
f
на подотображение
e
g.
Доказательство.
Пусть
с
f
X
=
X
∪
R
и
cf
=
f
∪
e
g
:
X
∪
R
→
Y
.
Рассмотрим отображение
cλ
=
λ
∪
id
e
g
:
X
∪
R
→
Z
. Докажем, что
cλ
—
морфизм
cf
в
g
. Если
x
2
X
, то
cf
(
x
) =
f
(
x
) =
g
(
λ
(
x
)) =
g
(
cλ
(
x
))
.
Если
x
2
R
, то
cf
(
x
) =
e
g
(
x
) =
g
(
cλ
(
x
))
.
Таким образом,
cf
=
g
◦
cλ
.
Введем на
c
f
X
топологию, база
В
которой состоит из всех мно-
жеств, открытых в пространстве
Х
, а также всех подмножеств про-
странства
c
f
X
вида
(
cλ
)
−
1
O
∩
g
−
1
V
\
[
U
]
f
−
1
V
,
где множество
О
открыто в
Z
, множество
V
открыто в
Y
, множество
U
открыто в
Х
,
U f
−
1
V
, и отображение
f
: [
U
]
f
−
1
V
→
V
бикомпакт-
но. Докажем, что база
В
определена корректно. Достаточно доказать,
что пересечение двух множеств из
В
указанного вида также является
элементом
В
.
Пусть
W
i
= (
cλ
)
−
1
O
i
∩
g
−
1
V
i
\
[
U
i
]
f
−
1
V
i
,
где множество
O
i
открыто в
Z
, множество
V
i
открыто в
Y
, множе-
ство
U
i
открыто в
Х
,
U
i
f
−
1
V
i
, и отображение
f
: [
U
i
]
f
−
1
V
i
→
V
i
бикомпактно,
i
= 1
,
2
. Поскольку отображение
f
: (
U
1
∪
U
2
)
∩
f
−
1
(
V
1
∩
V
2
)
f
−
1
(
V
1
∩
V
2
)
→
V
1
∩
V
2
бикомпактно, то
W
1
∩
W
2
=
=
cλ
−
1
(
O
1
∩
O
2
)
∩
g
−
1
(
V
1
∩
V
2
)
\
(
U
1
∪
U
2
)
∩
f
−
1
(
V
1
∩
V
2
)
f
−
1
(
V
1
∩
V
2
)
— элемент базы.
Заметим, что
(
cλ
)
−
1
(
O
∩
g
−
1
V
)
\
[
U
]
f
−
1
V
= (
cf
)
−
1
V
\
[
U
]
f
−
1
V
∩
∩
(
cλ
)
−
1
O
. Если в качестве множества
V
взять все пространство
Y
, в
качестве множества
U
взять пустое множество, то видно, что прообраз
при отображении
с
λ
любого открытого в пространстве
Z
множества
открыт в
c
f
X
. Поэтому отображение
cλ
непрерывно. Кроме того, по
построению отображение
cλ
является продолжением морфизма
λ
и
cλ
:
cf
\
f
→
e
g
— изоморфизм
cf
\
f
на
e
g
.
6
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 1
