заданные вещественные функции
u
(
x
1
, x
2
)
и
v
(
x
1
, x
2
)
удовлетворяют
условиям (11) и (12).
3. Однородная задача Келдыша – Седова равносильна следующей
задаче о скачке:
f
++
(
ζ
1
, ζ
2
) =
−
f
−−
(
ζ
1
, ζ
2
)
≡ −
f
++
(
ζ
1
, ζ
2
)
,
(
ζ
1
, ζ
2
)
2
M
u
,
f
++
(
ζ
1
, ζ
2
) =
f
−−
(
ζ
1
, ζ
2
)
≡
f
++
(
ζ
1
, ζ
2
)
,
(
ζ
1
, ζ
2
)
2
M
v
.
Решением такой задачи, исчезающим в бесконечно удаленных точках,
является функция (см. [11, 21])
h
(
z
1
, z
2
) =
h
1
(
z
1
)
h
2
(
z
2
) =
=
i α
0
+
α
1
z
1
+
...
+
α
n
−
1
z
n
−
1
1
β
0
+
β
1
z
2
+
...
+
β
m
−
1
z
m
−
1
2
s
n
Q
p
=1
(
z
1
−
a
2
p
−
1
) (
z
1
−
a
2
p
)
s
m
Q
q
=1
(
z
2
−
b
2
q
−
1
) (
z
2
−
b
2
q
)
,
где
α
0
, α
1
, . . . , α
n
−
1
и
β
0
, β
1
, . . . , β
m
−
1
— вещественные постоянные.
В самом деле, Re
h
= 0
на
M
u
,
Im
h
= 0
на
M
v
и
h
(
z
1
, z
2
)
→
0
при
z
1
→ ∞
или
z
2
→ ∞
. Отсюда следует
Лемма 2.
Решение
f
(
z
1
, z
2
)
задачи Келдыша – Седова, исчезающее
на бесконечности, с ограниченным интегралом
Z
1
Z
Z
2
Z
f
(
z
1
, z
2
)
dz
1
dz
2
в окрестностях всех точек
(
a
p
, b
q
)
определяется по формуле
f
(
z
1
, z
2
) =
1
2 (
πi
)
2
g
(
z
1
, z
2
)
∞
ZZ
−∞
g
(
ζ
1
, ζ
2
)
ψ
(
ζ
1
, ζ
2
)
(
ζ
1
−
z
1
) (
ζ
2
−
z
2
)
dζ
1
dζ
2
+
h
(
z
1
, z
2
)
,
где положено
ψ
(
ζ
1
, ζ
2
) =
(
u
(
ζ
1
, ζ
2
)
,
(
ζ
1
, ζ
2
)
2
M
u
,
iv
(
ζ
1
, ζ
2
)
,
(
ζ
1
, ζ
2
)
2
M
v
.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Т е м л я к о в А. А. Интегральное представление функций двух комплексных
переменных // Изв. АН СССР. Cер. матем. – 1957. – Т. XXI. – С. 89–92.
2. Т е м л я к о в А. А. Интегральные представления функций двух комплексных
переменных // ДАН СССР. – 1958. – Т. 120. – Вып. 5. – С. 976–979.
3. Т е м л я к о в А. А. Интегральные представления // ДАН СССР. – 1959. –
Т. 129. – Вып. 5. – С. 986–988.
4. Т е м л я к о в А. А. Интегральные представления // ДАН СССР. – 1960. –
Т. 131. – Вып. 2. – С. 263–264.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 2
31
