ограничены в достаточно малых окрестностях соответственно точек
(
a
2
p
−
1
, b
2
q
−
1
)
,
(
a
2
p
, b
2
q
−
1
)
,
(
a
2
p
−
1
, b
2
q
)
и
(
a
2
p
, b
2
q
)
,
p
= 1
,
2
, . . . ,
2
n, q
= 1
,
2
, . . . ,
2
m.
Подставим заданные функции
u
(
x
1
, x
2
)
и
v
(
x
1
, x
2
)
в формулу Ко-
ши (8) и покажем, что эта формула дает решение задачи Келдыша –
Седова. Пусть
(
z
1
, z
2
)
→
(
t
1
, t
2
)
2
M
re
,
r
+
e
= 2
s,
тогда, рассуждая,
как и при выводе формулы (10) из (8), получаем
f
(
t
1
, t
2
)
g
(
t
1
, t
2
) =
=
1
2
{
u
(
t
1
, t
2
)
g
(
t
1
, t
2
) + (
S
1
,r
ug
) (
t
1
, t
2
) + (
S
2
,e
ug
) (
t
1
, t
2
)
}
+
+
1
2
n
+
m
X
S
=
[
e
+1
2
]
(
S
2
,
2
s
−
e
ug
) (
t
1
, t
2
) +
1
2
n
+
m
X
S
=
[
r
+1
2
]
(
S
1
,
2
s
−
r
ug
) (
t
1
, t
2
)+
+
i
2
n
+
m
−
1
X
S
=
[
e
2
]
(
S
2
,
2
s
−
e
−
1
vg
) (
t
1
, t
2
) +
i
2
n
+
m
−
1
X
S
=
[
r
2
]
(
S
1
,
2
s
−
r
+1
vg
) (
t
1
, t
2
)+
+ 2 (
K
u
ug
) (
t
1
, t
2
) + 2
i
(
K
v
vg
) (
t
1
, t
2
)
.
(15)
Учитывая равенства (11) и (12), делим обе части равенства (15) на
g
(
t
1
, t
2
)
и находим
f
(
t
1
, t
2
) =
u
(
t
1
, t
2
) +
S
1
,r
u
(
ζ
1
, t
2
)
g
1
(
ζ
1
)
g
1
(
t
1
)
(
t
1
, t
2
) +
+
n
+
m
X
S
=
[
r
+1
2
]
S
1
,
2
s
−
r
u
(
ζ
1
, t
2
)
g
1
(
ζ
1
)
g
1
(
t
1
)
(
t
1
, t
2
)+
+
i
n
+
m
−
1
X
S
=
[
r
2
]
S
1
,
2
s
−
r
+1
v
(
ζ
1
, t
2
)
g
1
(
ζ
1
)
g
1
(
t
1
)
(
t
1
, t
2
)
.
Отсюда следует
Re
f
(
t
1
, t
2
) =
u
(
t
1
, t
2
)
,
(
t
1
, t
2
)
2
M
u
.
Аналогично рассуждая, найдем, что
Im
f
(
t
1
, t
2
) =
v
(
t
1
, t
2
)
,
(
t
1
, t
2
)
2
M
v
.
Таким образом, доказана
Теорема.
Задача Келдыша – Седова имеет единственное решение,
удовлетворяющее условиям (13), (14) в том и только том случае, если
30
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 2
