Отсюда вытекает важная
Лемма 1.
Если функция
f
(
z
1
, z
2
) =
u
(
z
1
, z
2
) +
iv
(
z
1
, z
2
)
аналитич-
на в биполуплоскости
D
, удовлетворяет условиям (4) и
f
(
x
1
, x
2
)
2
2
H (
M
pq
)
при всех
p, q
, то имеет место формула Коши (8), а предель-
ные значения
u
(
x
1
, x
2
)
и
v
(
x
1
, x
2
)
ее вещественной и мнимой частей
удовлетворяют условиям (11) и (12).
1. Двумерную задачу Келдыша – Седова [11] сформулируем так:
найти функцию
f
(
z
1
, z
2
)
, аналитическую в биполуплоскости
D
и удо-
влетворяющую на
Г
2
краевому условию
Re
f
(
x
1
, x
2
) =
ϕ
(
x
1
, x
2
)
,
8
(
x
1
, x
2
)
2
M
u
,
Im
f
(
x
1
, x
2
) =
ϕ
(
x
1
, x
2
)
,
8
(
x
1
, x
2
)
2
M
v
,
где вещественная функция
ϕ
(
x
1
, x
2
)
удовлетворяет условию Г¨ельдера
на каждом множестве
M
pq
, допускает разрывы на прямых
x
1
=
a
p
,
p
= 1
,
2
, . . . ,
2
n
, и
x
2
=
b
q
,
q
= 1
,
2
, . . . ,
2
m
, и исчезает во всех беско-
нечно удаленных точках
Г
2
так, что
|
ϕ
(
x
1
, x
2
)
|
6
C
|
x
1
|
λ
1
|
x
2
|
λ
2
,
0
6
λ
1
, λ
2
<
1
, C >
0
.
Если
M
u
=
Г
2
, а
M
v
=
?
, то задача Келдыша – Седова превращается
в задачу Шварца, которая разрешима лишь в том случае, если задан-
ная функция
ϕ
(
x
1
, x
2
)
удовлетворяет необходимому и достаточному
условию разрешимости [20]:
V
−
1
12
ϕ
(
x
1
, x
2
) = 0
при
x
1
>
0
, x
2
<
0
.
Следовательно, задача Келдыша – Седова не разрешима, если за-
данная функция
ϕ
(
x
1
, x
2
)
не удовлетворяет дополнительным услови-
ям. Положим
ϕ
(
x
1
, x
2
)
|
M
u
=
u
(
x
1
, x
2
)
,
ϕ
(
x
1
, x
2
)
|
M
v
=
v
(
x
1
, x
2
)
)
и, учитывая лемму 1, потребуем, чтобы заданные функции
u
(
x
1
, x
2
)
и
v
(
x
1
, x
2
)
удовлетворяли условиям (11) и (12).
2. Покажем, что при выполнении условий (11) и (12) задача Келды-
ша – Седова имеет единственное решение
f
(
z
1
, z
2
)
, удовлетворяющее
следующим условиям:
1)
lim
z
1
→∞
f
(
z
1
, z
2
) = lim
z
2
→∞
f
(
z
1
, z
2
) = 0
;
(13)
2) функции
f
(
z
1
, z
2
)
,
Z
1
Z
a
2
p
f
(
z
1
, z
2
)
dz
1
,
Z
2
Z
b
2
q
f
(
z
1
, z
2
)
dz
2
,
Z
1
Z
a
2
p
Z
2
Z
b
2
q
f
(
z
1
, z
2
)
dz
1
dz
2
(14)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 2
29
