заданным на двух попарно не пересекающихся объединениях пря-
моугольников, исчерпывающих
R
2
x
1
x
2
. Указываются необходимые и
достаточные условия разрешимости такой задачи и сформулированы
условия, обеспечивающие единственность ее решения, которое дается
специальным интегралом типа Коши.
Задача Келдыша – Седова.
Пусть на оси
x
1
=
Re
z
1
(
x
2
=
Re
z
2
)
заданы точки
a
1
, a
2
, . . . , a
2
n
(
b
1
, b
2
, . . . , b
2
m
)
, удовлетворяющие нера-
венствам
−∞
< a
1
< . . . < a
p
< . . . < a
2
n
<
+
∞
(
−∞
< b
1
< . . .
. . . < b
q
< . . . < b
2
m
<
+
∞
)
. Положим
M
1
0
= (
−∞
;
a
1
)
, M
1
p
= (
a
p
;
a
p
+1
)
,
p
= 1
,
2
, . . . ,
2
n
−
1
, M
1
2
n
= (
a
2
n
; +
∞
) ;
M
2
0
= (
−∞
;
b
1
)
, M
2
q
= (
b
q
;
b
q
+1
)
,
q
= 1
,
2
, . . . ,
2
m
−
1
, M
2
2
m
= (
b
2
m
; +
∞
)
и образуем множества
M
pq
=
M
1
p
×
M
2
q
, p
= 0
,
1
, . . . ,
2
n, q
= 0
,
1
, . . . ,
2
m,
M
u
=
[
p
+
q
=2
S
0
6
S
6
n
+
m
M
pq
, M
v
=
[
p
+
q
=2
S
+1
0
6
S
6
n
+
m
−
1
M
pq
.
Если функция
f
(
z
1
, z
2
) =
u
(
z
1
, z
2
) +
iv
(
z
1
, z
2
)
аналитична в бипо-
луплоскости
D
=
{
(
z
1
, z
2
) : Im
z
1
>
0
,
Im
z
2
>
0
}
, то имеет место
формула Коши [19]:
f
(
z
1
, z
2
)
g
(
z
1
, z
2
) =
1
(2
πi
)
2
ZZ
∂K
1
×
∂K
2
f
(
ζ
1
, ζ
2
)
g
(
ζ
1
, ζ
2
)
(
ζ
1
−
z
1
)(
ζ
2
−
z
2
)
dζ
1
dζ
2
=
1
(2
πi
)
2
R
1
Z
−
R
1
R
2
Z
−
R
2
+
R
1
Z
−
R
1
Z
C
2
+
Z
C
1
R
2
Z
−
R
2
+
ZZ
C
1
×
C
2
f
(
ζ
1
, ζ
2
)
g
(
ζ
1
, ζ
2
)
(
ζ
1
−
z
1
)(
ζ
2
−
z
2
)
dζ
1
dζ
2
;
(1)
(
z
1
, z
2
)
2
K
1
×
K
2
,
где
g
(
z
1
, z
2
) =
g
1
(
z
1
)
g
2
(
z
2
)
,
(2)
g
1
(
z
1
) =
n
Y
p
=1
s
z
1
−
a
2
p
z
1
−
a
2
p
−
1
, g
2
(
z
2
) =
m
Y
q
=1
s
z
2
−
b
2
q
z
2
−
b
2
q
−
1
и
K
j
=
{|
z
j
|
< R
j
}∩{
Im
z
j
>
0
}
, C
j
=
{|
z
j
|
=
R
j
}∩{
Im
z
j
>
0
}
, j
=1
,
2
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 2
25
