3 / 18
В.И. Васильев, М.В. Васильева, И.К. Сирдитов
144
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 1
Математическая модель и конечно-элементная аппроксимация задачи.
Приведем математическую модель, описывающую процессы передачи теплоты в
мерзлых и талых грунтах и учитывающую наличие фазовых переходов поровой
влаги в грунте при некоторой заданной температуре фазового перехода
*
T
в
области
=
:
*
*
( ) = { |
,
( , )> },
( ) = { |
,
( , ) < }.
t
x x
T x t T
t
x x
T x t T
Здесь
— область, занятая талым грунтом, где температура превышает тем-
пературу фазового перехода;
— область, занятая мерзлым грунтом, фазовый
переход происходит на границе раздела фаз
S
[8, 9].
Тепловые процессы, сопровождающиеся фазовыми превращениями, по-
глощением и выделением скрытой теплоты, описывают классической моделью
Стефана [1, 2, 10]
div
( )
( )
= 0,
grad
T L
T
t
(1)
где
— коэффициент конвективного теплообмена;
,
,
,
— плот-
ность и теплопроводность талого и мерзлого грунтов;
L
— удельная теплота
фазового перехода. Для коэффициентов уравнения (1) имеем следующие соот-
ношения:
( ) =
(
);
( ) = (
);
= (1 )
;
= (1 )
;
= (1 )
;
= (1 )
sc sc
i i
sc
i
sc sc
w w
sc
w
c
c
c
c
m c
mc
m m
c
m c
mc
m m
и
*
*
0,
< ;
=
1,
> .
T T
T T
Здесь
,
c c
— удельная теплоемкость талого и мерзлого грунтов;
m
— пори-
стость;
, ,
sc w i
— индексы, обозначающие каркас пористой среды, воды и льда.
Скачок функции Хевисайда
в точке
*
T
разложим простейшим образом в
интервале
*
*
< < ,
T T T
в результате чего получим непрерывную функ-
цию
[13–15]:
*
*
*
*
*
*
*
*
*
0,
;
0,
;
1
=
,
< < ;
= ,
< < ;
2
2
1,
;
0,
.
T T
T T
T T
T T T
T T T
T T
T T
Таким образом, запишем нелинейное параболическое уравнение для температу-
ры в области
: