8 / 14
Здесь
E
1
(
x
)
— неполная гамма-функция
Γ(0
, x
)
, связанная с интеграль-
ной показательной функцией
Ei(
x
)
соотношением [13]
E
1
(
x
) = Γ(0
, x
) =
∞
Z
x
e
−
s
s
ds
=
−
Ei(
−
x
)
.
Вернувшись к переменным
r
и
t
, получим решение поставленной за-
дачи в виде
T
(
r, t
) =
C
1
E
1
r
2
4
a
1
t
+
C
2
.
Легко определив неизвестные
C
1
и
C
2
из граничных условий (2)
и (6), запишем зависимость распределения температуры по сечению
цилиндра от времени:
T
(
r, t
) =
T
0
+
E
1
r
2
4
a
1
t
−
E
1
R
2
(
t
)
4
a
1
t
k
E
1
R
2
1
4
a
1
t
−
k
E
1
R
2
(
t
)
4
a
1
t
+
2
λ
1
R
1
exp
−
R
2
1
4
a
1
t
×
×
[
βq
(
t
) +
kT
1
−
kT
0
]
.
(15)
Из (15) следует, что при
t
→
0
температура жидкой фазы наполнителя
стремится к температуре
T
0
, и, таким образом, начальное условие (4)
удовлетворяется. Отметим, что при
k
→ ∞
и
t >
0
T
(
R
1
, t
) =
T
1
.
Это выражение также согласуется с физическим смыслом: в частном
случае граничного условия первого рода температура наполнителя в
жидкой фазе у границы
r
=
R
1
равна
T
1
. Следовательно, решение,
построенное по аналогии с решением Неймана, действительно имеет
право на существование.
В качестве критериального соотношения для определения коэффи-
циента теплопередачи
k
выберем выражение (9). При этом предполо-
жим, что гидравлический диаметр тепловой трубки
D
0
равен геоме-
трическому диаметру внутренней поверхности ее стенки
2
R
0
, длина
накопителя
l
= 1
м, а температура теплоносителя
T
1
однородна и
постоянна, вследствие чего в (9)
η
=
η
0
.
При вычислениях были использованы следующие исходные дан-
ные [6, 7]:
R
0
= 0
,
004
м;
R
1
= 0
,
005
м;
R
2
−
R
1
= 0
,
045
м;
V
0
= 0
,
01
м/с;
материал тепловой трубки — медь, материал наполнителя — парафин;
теплоноситель — вода; теплоемкость
c
0
= 385
Дж/(кг
∙
K); теплопро-
водность меди
λ
0
= 395
Вт/(м
∙
K); плотность меди
ρ
0
= 8900
кг/м
3
;
температура плавления парафина
T
0
= 326
K; удельная теплота
плавления парафина
L
= 184 480
Дж/кг; теплоемкость парафина
c
1
= 2384
Дж/(кг
∙
K); теплопроводность парафина
λ
1
=0
,
15
Вт/(м
∙
K);
106
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 1