c
3
c
1
∂
2
ψ
∂ r
2
+
1
r
∂ψ
∂ r
−
ψ
r
2
+
c
2
c
1
r
2
∂
2
ψ
∂θ
2
+
+
σ
θ
+
c
3
c
1
r
∂
2
ϕ
∂ r∂θ
+
c
2
+
c
3
c
1
r
2
∂ϕ
∂θ
+
12
c
5
c
1
1
r
∂w
∂θ
−
ψ
=
−
∂
2
ψ
∂τ
2
,
(6)
где
τ
=
t
√
c
1
h
;
c
1
=
E
r
(1
−
σ
r
σ
θ
)
ρ
;
w
=
w
0
h
;
u
=
u
0
h
;
v
=
v
0
h
;
r
=
r
0
h
;
c
2
=
E
θ
(1
−
σ
r
σ
θ
)
ρ
;
c
3
=
G
rθ
ρ
;
c
4
=
KG
rz
ρ
;
c
5
=
KG
θz
ρ
;
q
1
=
qh
ρc
1
;
M
=
12
qR
1
cos
α
1
ρhc
1
=
12
R
1
cos
α
1
h
2
q
1
;
D
r
=
h
3
12
B
r
;
D
θ
=
h
3
12
B
θ
;
D
k
=
h
3
12
B
k
;
C
r
=
hB
r
;
C
θ
=
hB
θ
;
C
k
=
hB
k
;
D
rθ
=
D
r
σ
θ
+ 2
D
k
;
B
r
=
E
r
1
−
σ
r
σ
θ
;
B
θ
=
E
θ
1
−
σ
r
σ
θ
;
B
k
=
G
rθ
;
E
r
σ
r
=
E
θ
σ
θ
;
K
= 5
/
6
;
D
r
,
D
θ
и
С
r
,
С
θ
— соответственно жесткости изгиба и растяжения-сжатия
для направлений
r
,
θ
;
D
k
— жесткость кручения;
С
k
— жесткость сдви-
га;
Е
r
,
Е
θ
и
σ
r
,
σ
θ
– модули упругости и коэффициенты Пуассона для
направлений
r
,
θ
;
G
rz
,
G
θz
– модули сдвига в плоскостях
rz
и
θz
соот-
ветственно;
w
(
r, θ
)
— нормальное перемещение срединной плоскости;
u
(
r, θ
)
и
v
(
r, θ
)
— тангенциальные перемещения срединной поверх-
ности соответственно по осям
r
,
θ
;
ϕ
(
r, θ
)
и
ψ
(
r, θ
)
— произвольные
искомые функции координат
r, θ
;
ρ
— плотность,
h
— толщина пла-
стинки;
q
— нагрузка;
α
1
,
α
2
— углы направления удара в вертикальной
и горизонтальной плоскостях соответственно (в данной работе они
принимают значения
π/
2
);
R
1
— радиус сферического ударника.
В уравнениях (2)–(6) через
с
1
,
с
2
,
с
3
,
с
4
,
с
5
обозначены ква-
драты скоростей, индексы 1, 2 соответствуют продольным волнам
растяжения-сжатия, распространяющимся в направлениях
r
и
θ
соот-
ветственно, индекс 3 соответствует волне сдвига продольных сечений
в плоскости
rθ
; индексы 4, 5 соответствуют поперечным волнам сдви-
га в плоскостях, перпендикулярных плоскостям
rz
,
θz
соответственно.
Упругие волны образуются в пластинке после касания ударником ми-
шени и распространяются от границ контактной области.
Метод решения.
Для решения функционального уравнения (1) не-
обходимо найти зависимость прогиба пластинки и силы взаимодей-
ствия в месте контакта, т.е. решить систему уравнений (2)–(6) относи-
тельно
w
.
Используем преобразование Лапласа по времени, заменив
ϕ
,
ψ
,
w, u, v
,
q
1
и
M
на
ˉ
ϕ
,
ˉ
ψ
,
ˉ
w
,
ˉ
u
,
ˉ
v
,
ˉ
q
1
и
ˉ
M
соответственно, и запишем
уравнения (2)–(6) в виде
54
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 2
