Систему обыкновенных дифференциальных уравнений представим
в матричном виде
:
C
d
{
T
}
dx
+
K
{
T
}
=
{
F
}
.
(21)
Используем конечно
-
разностную аппроксимацию производной в
системе
(21)
в пределах интервала
∆
x
k
=
x
k
−
x
k
−
1
,
приняв
d
{
T
}
dx
≈ {
T
}
k
− {
T
}
k
−
1
∆
x
k
,
где индексы
k
−
1
и
k
,
k
∈
N
,
соответствуют начальной и конечной точ
-
кам
k
-
го интервала
.
Применим двухслойную разносную схему
“
с веса
-
ми
”
и из системы
(21)
получим
((1
−
η
)
C
k
−
1
+
ηC
k
)
{
T
}
k
− {
T
}
k
−
1
∆
x
k
=
= (1
−
η
) (
{
F
}
k
−
1
−
K
k
−
1
{
T
}
k
−
1
) +
η
(
{
F
}
k
−
K
k
{
T
}
k
)
,
(22)
где
η
∈
[0
,
1]
,
k
∈
N
.
В предельных случаях
η
= 0
и
η
= 1
система
(22)
соответствует схемам аппроксимации в явной и неявной формах
.
Что
-
бы избежать наложения ограничений на выбор
∆
x
k
,
из условия устой
-
чивости схемы в явной форме выбирается разностная схема в неявной
форме
[11]:
{
T
}
k
=
µ
C
k
∆
x
k
+
K
k
¶
−
1
µ
C
k
−
1
{
T
}
k
−
1
∆
x
k
+
{
F
}
k
¶
.
(23)
Выбирая интервал
∆
x
k
,
можно руководствоваться лишь соображе
-
ниями точности расчета
,
поскольку неявная схема устойчива при лю
-
бых значениях
∆
x
k
.
В случае существенной зависимости коэффициен
-
тов от температуры вычисления по формуле
(23)
на каждом шаге по
х
необходимо проводить несколько раз
,
последовательно уточняя зна
-
чения элементов матриц
.
При слабой зависимости этих элементов от
температуры обычно достаточно ограничиться лишь первым прибли
-
жением
[11],
приняв
{
T
}
k
=
µ
C
k
−
1
∆
x
k
+
K
k
−
1
¶
−
1
µ
C
k
−
1
{
T
}
k
−
1
∆
x
k
+
{
F
}
k
−
1
¶
.
(24)
Отметим
,
что с использованием предложенного метода решения за
-
дачи о затвердевании слитка возможен учет теплоты кристаллизации
методом избыточных температур
.
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
1
85
