Cкорость изменения момента количества движения относительно
начала выбранной системы координат равна сумме моментов действу-
ющих на рассматриваемое тело массовых и поверхностных сил, вы-
званных внешними по отношению к телу материальными объектами.
Для получения локальной формулировки закона сохранения момен-
та количества движения воспользуемся интегральной формой записи
этого закона для
α
-го компонента смеси:
α
D
Dt
Z
V
e
ijk
x
j
α
v
k
ρ
α
dV
=
Z
V
e
ijk
x
j
α
b
k
dV
+
Z
S
e
ijk
x
j
α
p
k
dS
+
+
Z
V
N
X
ν
=1
να
M
i
dV, α
= 1
, N,
(8)
где
e
ijk
— символ Леви-Чивиты;
να
M
i
определяет интенсивность обмена
моментом количества движения между
α
-м и
ν
-м компонентами смеси,
при этом
να
M
i
=
−
αν
M
i
,
αα
M
i
= 0
.
(9)
Преобразуем отдельно левую часть и второе слагаемое в правой
части равенства (8) и окончательно получим локальную формулировку
закона сохранения момента количества движения:
e
ijk
x
j
N
X
ν
=1
να
P
k
−
α
σ
jk
!
−
N
X
ν
=1
να
M
i
= 0
, α
= 1
, N.
(10)
Из равенства (10) следует, что тензор напряжений Коши для ка-
ждого компонента смеси несимметричен (
α
σ
jk
6
=
α
σ
kj
) только вслед-
ствие имеющего место межкомпонентного обмена моментом количе-
ства движения. Очевидно, что если в равенстве (10) провести сумми-
рование по
α
от
1
до
N
, то получим
σ
jk
=
σ
kj
,
т.е. для всей смеси тензор напряжений Коши симметричен.
При формулировании закона сохранения энергии (первого зако-
на термодинамики), в соответствии с которым скорость изменения во
времени полной энергии произвольного объема сплошной среды равна
сумме мощности действующих на термодинамическую систему меха-
нических сил и скорости изменения поступающей в рассматриваемую
термодинамическую систему тепловой энергии, будем полагать, что
объемная плотность полной энергии
ρE
рассматриваемой термоди-
намической системы есть сумма внутренней и кинетической энергий,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 3
39
