Это соотношение следует из того, что, с одной стороны,
P
{
S
ij
S
i
−
p,j
−
q
= 1
, S
i
−
p,j
−
q
S
i
−
2
p,j
−
2
q
= 1
}
=
=
P
{
S
ij
=
S
i
−
p,j
−
q
=
S
i
−
2
p,j
−
2
q
= 1
}
+
+
P
{
S
ij
=
S
i
−
p,j
−
q
=
S
i
−
2
p,j
−
2
q
=
−
1
}
=
1
8
+
1
8
=
1
4
,
а с другой стороны,
P
{
S
ij
S
i
−
p,j
−
q
= 1
}
=
P
{
S
ij
=
S
i
−
p,j
−
q
= 1
}
+
+
P
{
S
ij
=
S
i
−
p,j
−
q
=
−
1
}
=
1
4
+
1
4
=
1
2
,
и аналогично
P
{
S
i
−
p,j
−
q
S
i
−
2
p,j
−
2
q
= 1
}
=
1
2
.
Из этих же выкладок вытекает, что для любых
(
p, q
)
2
B
E
(
S
ij
S
i
−
p,j
−
q
) = 0
,
D
(
S
ij
S
i
−
p,j
−
q
) = 1
,
i, j
= 0
,
±
1
, . . . ,
а следовательно, в соответствии с центральной предельной тео-
ремой распределение
Z
pq
асимптотически нормально с
E
Z
pq
= 0
,
D
Z
pq
= (
m
−
p
)(
n
−
q
)
,
(
p, q
)
2
B
.
Далее, поскольку
P
{
S
ij
S
i
−
p,j
−
q
= 1
}
=
P
{
S
ij
S
i
−
p,j
−
q
=
−
1
}
=
1
2
,
то
1 +
S
ij
S
i
−
p,j
−
q
2
имеет распределение Бернулли с параметром
1
2
, а
ξ
=
m
X
i
=
p
+1
n
X
j
=
q
+1
1 +
S
ij
S
i
−
p,j
−
q
2
=
(
m
−
p
)(
n
−
q
)
2
+
1
2
Z
pq
— биномиальное распределение с параметрами
(
m
−
p
)(
n
−
q
)
и
1
2
.
Приложение.
Доказательство теоремы 1. Чтобы избежать громозд-
ких обозначений, докажем теорему для альтернативы
a
= (
a
10
,
0
,
0)
,
a
10
6
= 0
; для остальных альтернатив
a
pq
6
= 0
,
(
p, q
)
2
B
, доказательство
аналогично.
Обозначим
I
(
A
)
— индикатор подмножества
A
в пространстве эле-
ментарных событий
Ω
,
I
ij
=
I
(
S
ij
=
s
ij
)
. Отметим, что при альтерна-
тиве
(
a
10
,
0
,
0)
I
ij
=
1 +
s
ij
2
−
s
ij
I
(
ε
ij
<
−
a
10
X
i
−
1
,j
)
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
119
