(
p, q
)
2
B
, а количество элементов в
Q
будет определяться уровнем
значимости критерия (если
Q
состоит из
k
элементов, то уровень зна-
чимости будет равен
k
∙
2
−
mn
).
Из теоремы 1 следует, что
∂
P
{
S
=
s
|
a
}
)
∂a
pq
a
=0
= 2
−
mn
Kz
pq
,
(
p, q
)
2
B.
Отметим, что
E >
0
, и, следовательно,
K >
0
. Таким образом, при
проверке
H
0
против
H
+
pq
критическое множество
Q
+
pq
состоит из тех
матриц
s
, для которых
z
pq
> C
, где постоянная
C
определяется уров-
нем значимости критерия,
(
p, q
)
2
B
.
Аналогично при проверке
H
0
против
H
−
pq
критическое множество
Q
−
pq
состоит из тех матриц
s
, для которых
z
pq
< C
,
(
p, q
)
2
B
.
Распределение статистик
Z
pq
при гипотезе
H
0
.
Для практиче-
ского применения построенных критериев нужно знать распределение
Z
pq
,
(
p, q
)
2
B
, при гипотезе
H
0
. Квантили распределения
Z
pq
нахо-
дятся при помощи следующей теоремы.
Теорема 3.
Пусть выполнены условия (2)–(4). Тогда при гипотезе
H
0
справедливы следующие утверждения:
1) статистика
Z
pq
представима в виде
Z
pq
= 2
ξ
−
(
m
−
p
)(
n
−
q
)
,
где случайная величина
ξ
имеет биномиальное распределение с пара-
метрами
(
m
−
p
)(
n
−
q
)
и
1
2
;
2)
Z
pq
асимптотически нормальна с
E
Z
pq
= 0
и
D
Z
pq
=(
m
−
p
)(
n
−
q
)
,
(
p, q
)
2
B
.
Доказательство.
Покажем, что
Z
pq
— сумма независимых случай-
ных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дис-
персией. При
H
0
наблюдения
X
ij
совпадают с
ε
ij
и поэтому являются
независимыми одинаково распределенными случайными величинами.
Из условия (2) следует, что при
H
0
случайные величины
S
ij
прини-
мают значения
±
1
с вероятностью 1/2. Если
(
i
−
p, j
−
q
)
6
= (
k, l
)
и
(
k
−
p, l
−
q
)
6
= (
i, j
)
, то независимость
S
ij
S
i
−
p,j
−
q
и
S
kl
S
k
−
p,l
−
q
очевидна. В противном случае, например при
(
i
−
p, j
−
q
) = (
k, l
)
, не-
зависимость
S
ij
S
i
−
p,j
−
q
и
S
i
−
p,j
−
q
S
i
−
2
p,j
−
2
q
вытекает из независимости
событий
{
S
ij
S
i
−
p,j
−
q
= 1
}
и
{
S
i
−
p,j
−
q
S
i
−
2
p,j
−
2
q
= 1
}
,
i, j
= 0
,
±
1
, . . .
,
т.е. равенства
P
{
S
ij
S
i
−
p,j
−
q
= 1
, S
i
−
p,j
−
q
S
i
−
2
p,j
−
2
q
= 1
}
=
=
P
{
S
ij
S
i
−
p,j
−
q
= 1
}
P
{
S
i
−
p,j
−
q
S
i
−
2
p,j
−
2
q
= 1
}
.
118
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
