Введем следующие
пространства
H
R
(Ω)
:
H
R
(Ω) =
v
:
γ
0
v
2
H
R
−
1
/
2
(
S
)
,
−
Δ
v
(
x
) = 0
, x
2
Ω
k
,
для всех
Ω
k
для любых
R
2
Z
, R
>
1
, k
= 1
, ..., K
E
.
При
R
= 1
подразуме-
вается определение (19) пространства
H
1
(Ω)
.
В определение
H
R
(Ω)
включим и условие (18). Рост показателя
R
характеризуется увеличе-
нием гладкости функций
γ
0
v
2
H
R
−
1
/
2
(
S
) =
Q
k,l
H
R
−
1
/
2
(
I
kl
)
из этого
пространства на всех гладких частях суперэлементных границ.
Поскольку для следа любой функции
v
из пространства
H
R
(Ω)
справедливо включение
γ
0
v
2
H
R
−
1
/
2
(
S
)
,
то выполняется условие
H
R
(Ω)
H
R
(Ω)
.
(23)
Обратное вложение при
R
6
= 1
на границе класса
C
0
не имеет места.
Кроме того, любая функция
v
2
H
R
(Ω)
однозначно определена своим
следом
γ
0
v
2
H
R
−
1
/
2
(
S
)
на
S
[20]. В пространстве
H
R
(Ω)
введем нор-
му прямого произведения пространств
H
R
−
1
/
2
(
S
)
так, что
8
v
2
H
R
(Ω)
k
v
k
H
R
(Ω)
'
X
k
γ
0
v
H
R
−
1
/
2
(
S
k
)
=
γ
0
v
H
R
−
1
/
2
(
S
)
, R
>
1
.
(24)
Здесь и далее
k
γ
0
v
k
H
R
−
1
/
2
(
S
)
— условная запись. Для
R
= 1
,
как и
ранее, имеем эквивалентность
k
v
k
H
1
(Ω)
' k
γ
0
v
k
H
1
/
2
(
S
)
.
Для классов
H
R
(Ω)
аналогично определению (16)
погрешностью
метода на классе
H
R
(Ω)
назовем величину
δ
N
ν
H
R
(Ω) = sup
u
2
H
R
(Ω)
u
−
π
N
ν
(
u
)
H
1
(Ω)
=
=
δ
N
ν
H
r
(
S
) = sup
γ
0
u
2
H
r
(
S
)
γ
0
u
−
π
N
ν
(
γ
0
u
)
H
1/2
(
S
)
с учетом (24), где
r
=
R
−
1
/
2
.
Из вложения (23) следует справедливость неравенства
δ
N
ν
H
R
(Ω)
6
δ
N
ν
H
R
(Ω)
.
(25)
По аналогии с предыдущим определением понятия насыщаемости
будем говорить, что метод
имеет насыщение
(
насыщаем
) на классах
H
R
(Ω)
, r
=
R
−
1
/
2
, r
= 1
/
2
,
3
/
2
,
5
/
2
, . . .
, если существует
r
0
, для
которого
1)
lim
N
→∞
δ
N
ν
H
R
(Ω) = lim
N
→∞
δ
N
ν
H
r
(
S
) = 0
при
r
≤
r
0
;
2)
δ
N
ν
H
s
(
S
) =
o
(
δ
N
ν
H
r
(
S
))
при
r < s
≤
r
0
;
3) при
r
0
< r
существуют
γ
0
u
2
H
r
(
S
)
и не зависящая от
ν
кон-
станта
c >
0
,
такая, что
γ
0
u
−
π
N
ν
(
γ
0
u
)
H
1
/
2
(
S
)
≥
c
∙
δ
N
ν
H
r
0
(
S
)
.
Насыщаемость. Неравенство Джексона.
Согласно утвержде-
нию 1, для того чтобы провести оценку наилучшего приближения
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
11
