приближением к
u
[13, 14]. При получении оценок нам не обязательно
работать с аппроксимацией
ˉ
u.
Достаточно найти в аппроксимацион-
ном пространстве
ˉ
V
N
ν
(Ω)
(либо
ˉ
V
ν
(Ω))
хорошее приближение к
u
,
тогда
ˉ
u
будет еще лучше по энергетической норме. Для этой це-
ли удобно взять интерполянт функции
u,
который обозначим через
π
N
ν
(
u
)
(соответственно
π
ν
(
u
))
:
k
u
−
ˉ
u
k
H
1
(Ω)
6
Cε
N
ν
(
u
)
6
C u
−
π
N
ν
(
u
)
H
1
(Ω)
;
(13)
ε
N
ν
(
u
) = inf
v
2
ˉ
V
N
ν
(Ω)
k
u
−
v
k
H
1
(Ω)
.
(14)
В этом неравенстве константа
C
определена параметрами
σ
и
μ
соот-
ношений непрерывности и эллиптичности исходного оператора [15]:
C
=
σ/μ,
(15)
где константы
σ
,
μ
такие, что
a
(
u, u
) = (
r
u,
r
u
)
L
2
(Ω)
>
μ
∙ k
u
k
2
L
2
(Ω)
,
|
a
(
u, v
)
|
6
σ
∙ k
u
k
L
2
(Ω)
k
v
k
L
2
(Ω)
.
Величину
ε
N
ν
(
u
) = inf
v
2
ˉ
V
N
ν
(Ω)
k
u
−
v
k
H
1
(Ω)
назовем
наилучшим
приближением
(или
величиной наилучшего приближения
) элемента
u
2
H
R
(
Ω
) подпространством
ˉ
V
N
ν
(Ω)
H
1
(Ω)
в норме
H
1
(Ω)
.
Она
представляет собой норму ошибки приближения функции
u
аппрок-
симирующим пространством МКСЭ
ˉ
V
N
ν
(Ω)
,
имеющую наименьшее
значение. Назовем
элементом наилучшего приближения
такую функ-
цию
g
2
ˉ
V
N
ν
(Ω)
, что
ε
N
ν
(
u
) = inf
v
2
ˉ
V
N
ν
(Ω)
k
u
−
v
k
H
1
(Ω)
=
k
u
−
g
k
H
1
(Ω)
.
Определения соответствуют работам [10, 16, 17]. Аналогично введем
ε
N
ν
(
γ
0
u
)
1
/
2
= inf
w
2P
N
ν
(
S
)
k
γ
0
u
−
w
k
H
1
/
2
(
S
)
—
наилучшее приближение
(
величина наилучшего приближения
) элемента
γ
0
u
, определенного на
S,
подпространством
P
N
ν
(
S
)
H
1
/
2
(
S
)
в норме пространства
H
1
/
2
(
S
)
.
Отображение
π
N
ν
:
H
R
(Ω)
→
ˉ
V
N
ν
(Ω)
каждому элементу
u
2
H
R
(Ω)
ставит в соответствие его интерполянт
π
N
ν
(
u
)
из класса
ˉ
V
N
ν
(Ω)
[10],
а отображение
π
N
ν
:
H
r
(
S
)
→ P
N
ν
(
S
)
каждому элементу
γ
0
u
2
H
r
(
S
)
ставит в соответствие его граничный интерполянт из
P
N
ν
(
S
)
;
π
N
ν
— ли-
нейное непрерывное отображение, проектор на пространство
ˉ
V
N
ν
(Ω)
либо
P
N
ν
(
S
)
соответственно. Аналогично определяем
отображение
π
ν
:
H
r
(
I
kl
)
→ P
ν
(
I
kl
)
, ставящее каждому элементу
γ
0
u
2
H
r
(
I
kl
)
на
отрезке
I
kl
S
в соответствие его интерполянт класса
P
ν
(
I
kl
)
.
При
полиномиальной граничной интерполяции справедливо соотношение
для
π
ν
:
H
R
(Ω)
→
V
ν
(Ω)
,
а также
π
ν
:
H
r
(
S
)
→ P
ν
(
S
)
.
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
