В определение аппроксимирующего пространства не входят усло-
вия совместности функций в узлах
P
j
суперэлемента
γ
0
v
I
kl
(
P
j
) =
γ
0
v
I
kt
(
P
j
)
, j
= 1
, . . . , n,
(11)
на соседних отрезках
I
kl
∩
I
kt
=
P
j
6
= 0
границы
S
8
l, t
= 1
, . . . , n
,
8
k
= 1
, . . . , K
E
. Условие (11), как правило, выполнено в схеме МКСЭ,
поскольку оно введено в определение граничных базисных функций
ϕ
i
(
x
)
(см. (6)). Оно связано с расчетом базисных функций МКСЭ из
задач (4)–(5) и заданием для них интерполянта
ϕ
i
(
x
)
, непрерывного на
всей границе
S
k
=
∪
l
I
kl
.
Линейная оболочка таких базисных функций
МКСЭ согласно определению и составляет аппроксимирующее про-
странство. Тем не менее условие (11) можно ввести без ограничения
общности метода, если непрерывность искомой функции в окрестно-
стях узлов суперэлемента заведомо известна, а все особенности задач
заключены строго внутри суперэлементов. В частности, всегда для
сильного решения
u
2
H
s
(Ω)
при
s
≥
2
.
Отметим, что в определении (8) использован оператор Лапласа,
определяющий гармоническую функцию в суперэлементе. Под
гар-
моничностью
некоторого слабого решения
u
2
H
1
(Ω)
в произвольной
области
Ω
будем понимать его удовлетворение уравнению Лапласа в
обобщенной постановке
(
−
Δ
u, v
)
L
2
(Ω)
= (
r
u,
r
v
)
L
2
(Ω)
−
Z
∂
Ω
∂u
∂n
vdx
= 0
8
v
2
H
1
(Ω)
.
(12)
Далее как для слабого, так и для сильного решения продолжаем фор-
мально пользоваться кратким обозначением
−
Δ
u
= 0
.
Выражение
(
r
u,
r
v
)
L
2
(Ω)
в соотношении (12) задает непрерыв-
ную
билинейную форму
, соответствующую задаче (1)–(2) и обозна-
ченную
a
(
u, v
) = (
r
u,
r
v
)
L
2
(Ω)
, где
Ω
— расчетная область [3, 4,
9]. Она определяет
энергетическое скалярное произведение
и
энер-
гетическую норму
задачи, совпадающие со скалярным произведени-
ем и нормой пространства Соболева
H
1
(Ω)
(см., например, [13]):
a
(
u, v
) = (
r
u,
r
v
)
L
2
(Ω)
= (
u, v
)
H
1
(Ω)
,
a
(
u, u
)
1
/
2
= (
r
u,
r
u
)
1
/
2
L
2
(Ω)
=
=
k
u
k
H
1
(Ω)
. Пространство
H
1
(Ω)
есть
энергетическое пространство
задачи.
Оценка наилучшего приближения в
H
1
(Ω)
.
Исследование про-
водится в предположении, что коэффициенты системы Бубнова–
Галеркина в схеме МКСЭ (7) вычислены точно. Тогда расчет коэффи-
циентов приближенного решения
ˉ
u
по методу Бубнова–Галеркина рав-
носилен построению такой комбинации базисных функций, которая
в метрике энергетического пространства
H
1
(Ω)
является наилучшим
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
7
