Здесь
H
−
1
/
2
Γ
(Γ)
— гильбертово пространство функций с негативной
нормой, построенное по нулевому пространству
H
:=
L
2
,
Γ
и про-
странству с позитивной нормой
H
1
/
2
Γ
(Γ)
.
Для детального изучения оператора
ˆ
C
искомый потенциал
χ
пред-
ставим в виде
χ
=
χ
1
+
χ
2
+
π
(
t
)
,
(38)
где постоянная
π
(
t
)
удовлетворяет условию
π
(
t
) = (
|
Γ
1
|
+
|
Γ
2
|
)
−
1
Z
Γ
1
2
X
i
=1
χ
i
(
t, x
)
d
Γ
1
+
Z
Γ
2
2
X
i
=1
χ
i
(
t, x
)
d
Γ
2
,
а
χ
k
(
k
= 1
,
2)
есть решения задач
Δ
χ
k
= 0
в
Q,
∂χ
k
∂n
= 0
на
S,
∂χ
k
∂n
k
=
w
k
на
Γ
k
;
∂χ
k
∂n
j
= 0
на
Г
j
, k
6
=
j,
(
k, j
= 1
,
2)
,
Z
Γ
1
∂χ
1
∂n
1
d
Γ
1
=
Z
Γ
2
∂χ
2
∂n
2
dγ
2
.
(39)
Решения краевых задач (39) можно записать в виде
χ
k
(
t, x
) =
T
k
w
k
, k
= 1
,
2
,
(40)
где операторы
T
k
осуществляют изометрию между пространствами
H
−
1
/
2
(Γ
k
)
и пространством
H
1
h
1
,S
.
Для элементов
χ
из
H
1
Γ
(
Q
)
зададим операторы следа
γ
1
, γ
2
по за-
кону
χ
Γ
1
:=
γ
1
χ
=
χ
1 Γ
1
, χ
2 Γ
1
;
χ
Γ
2
:=
γ
2
χ
=
χ
1 Γ
2
, χ
2 Γ
2
(41)
и рассмотрим согласно абстрактной схеме [5] гильбертовы пары про-
странств:
{
H
1
Γ
(
Q
)
, L
2
(Γ
1
)
}
,
{
H
1
Γ
(
Q
)
, L
2
(Γ
2
)
}
. В силу второй теоремы
вложения Соболева операторы
γ
j
(
j
= 1
,
2)
компактно действуют из
H
1
Γ
(
Q
)
в
L
2
(Γ
j
)
. Учитывая представления (38), (40), из (41) получим
χ
Γ
1
=
C
11
w
1
+
C
12
w
2
;
χ
Γ
2
=
C
21
w
1
+
C
22
w
2
,
(42)
где
C
jk
=
γ
j
T
k
.
(43)
Лемма 1.
Операторы
C
jk
— компактные операторы, действую-
щие из
H
−
1
/
2
(Γ
j
)
в
H
1
/
2
(Γ
k
)
; при
j
6
=
k C
jk
— взаимно сопряженные,
а при
j
=
k
— самосопряженные положительные операторы.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 4
107
