невозмущенном движении в виде
p
0
1
(0
, t
)
−
p
0
2
(0
, t
) =
ξρ
(
V
0
Σ
)
2
2
при
x
3
= 0
,
(7)
где
ξ
— коэффициент сопротивления ЗУ.
Введение коэффициента
ξ
и поверхности слива позволяет при изу-
чении возмущенного движения воспользоваться моделью идеальной
жидкости, совершающей безвихревое движение всюду, кроме поверх-
ности
Σ
.
Рассмотрим малые движения жидкости, близкие к невозмущен-
ному состоянию. Предположим, что в возмущенном движении поле
смещений, поле скоростей и поле давлений частиц жидкости приобре-
тают малые отклонения
~w
(
x, t
)
,
~V
(
x, t
)
и
p
(
x, t
)
от их невозмущенных
значений. Векторные и скалярное поля
~w
(
x, t
)
,
~V
(
x, t
)
и
p
(
x, t
)
будем
считать величинами первого порядка малости. Пренебрегая слагае-
мыми второго порядка малости и выше, имеем
~V
(
x, t
) =
dw
(
x, t
)
/dt
.
Тогда основное уравнение гидростатики и перепад давления на ЗУ в
возмущенном движении принимают вид
p
0
(
x
3
, t
) +
p
(
x, t
) =
p
a
−
ρg
(
x
3
−
H
);
(8)
p
0
1
(0
, t
) +
p
(
x, t
)
−
p
0
2
(0
, t
) =
ξρ
(
V
0
Σ
+
V
Σ
)
2
2
при
x
3
= 0
.
(9)
Уравнение возмущенной свободной поверхности жидкости при ма-
лых колебаниях запишем в виде
x
3
=
H
(
t
) +
f
(
x
1
, x
2
, t
)
, H
(
t
) =
H
0
−
V
0
t,
(10)
где
f
(
x
1
, x
2
, t
) :=
w
Γ
(
x
1
, x
2
, H, t
)
— проекции вектора смещений ча-
стиц свободной поверхности жидкости на ось
OX
3
;
H
0
— глубина
жидкости в начальный момент времени.
Линеаризуя условия (8) и (9), для малых отклонений получаем
p
=
gρ~w
Γ
∙
~n
Γ
−
f
Γ
ρ
при
x
3
=
H
(
t
);
(11)
p
=
γρ ~V
∙
~n
Σ
−
f
Σ
ρ
при
x
3
= 0
.
(12)
Здесь
γ
=
ξ
˜
V
0
Σ
— обобщенный коэффициент сопротивления поверх-
ности слива;
f
Γ
(
t
)
и
f
Σ
(
t
)
— заданные поля внешних воздействий на
поверхностях
Γ
0
и
Σ
в возмущенном движении.
Очевидно, что если пренебречь влиянием вязкости, рассматривае-
мые движения жидкости можно описать линеаризованным уравнением
Эйлера
∂ ~V
∂t
+
~V
0
∙ r
~V
+ (
~V
∙ r
~V
0
)
~e
3
=
−
1
ρ
r
p
−
g~e
3
,
(13)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 4
101
