∂
2
χ
∂t
2
+
~V
0
(
H
)
∙ r
∂χ
∂t
+
g ~w
∙
~n
1
=
f
1
(
t
) +
c
(
t
)
на
Γ
1
;
(27)
∂
2
χ
∂t
2
+
~V
0
(0)
∙ r
∂χ
∂t
+
γ
∂ ~w
∂t
∙
~n
2
=
f
2
(
t
) +
c
(
t
)
на
Γ
2
;
(28)
w
i
=
w
0
i
(
x
1
, x
2
);
∂w
i
∂t
=
V
0
i
(
x
1
, x
2
)
.
(29)
Закон изменения энергии (23), (25) указывает, что функции
~w
(
x, t
) =
r
χ
,
~V
(
x, t
) =
r
Φ
в каждый момент времени
t
можно
рассматривать как элементы
w
(
t
)
,
V
(
t
)
гильбертова пространства
~L
2
(Ω)
вектор-функций со скалярным произведением
(
~u, ~v
) :=
Z
Ω
~u
∙
~v d
Ω
.
В задачах о малых движениях жидкости, частично заполняющей
полость твердого тела, и исследуемых методами функционального
анализа, обычно используют разложение пространства
~L
2
(Ω)
на три
ортогональных подпространства и последующее проектирование на
эти подпространства векторного уравнения (13) [5, 6]. В результате
получается нетривиальная проблема о нахождении потенциала сме-
щений, т.е. функции
χ
(
x, t
)
, из уравнения, основанного на интеграле
Коши. Используя решения вспомогательных краевых задач, получен-
ную проблему можно привести к исследованию операторного уравне-
ния для функции
w
(
x, t
)
— отклонения свободной поверхности, при-
надлежащей при фиксированном
t
гильбертову пространству
L
2
(Γ
0
)
комплекснозначных скалярных функций с нормой
k
w
k
2
0
=
Z
Γ
0
|
w
|
2
d
Γ
0
.
Будем использовать обозначения
w
1
, w
2
для отклонений жидкости
в вертикальном направлении на свободной поверхности и поверхно-
сти слива и введем гильбертово пространство
L
2
(Γ) =
2
i
=1
L
2
(Γ
i
)
комплекснозначных пар функций
w
= (
w
1
, w
2
)
t
со скалярным произ-
ведением вида
(
w, v
)
L
2
(Γ)
=
2
X
2
Z
Γ
i
w
i
v
i
d
Γ
, а при выполнении условия
Z
Γ
w d
Γ = 0
,
Γ = Γ
1
∪
Γ
2
— гильбертово пространство
L
2
,
Γ
коразмерности 1
L
2
,
Γ
=
L
2
(Γ)
{
(1
1
,
1
2
)
т
}
,
(30)
где
1
i
(
i
= 1
,
2)
— единичные функции, записанные на
Γ
i
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 4
105
