Для непрерывного векторного поля в ограниченном объеме правая
часть рассматриваемого тождества должна быть дополнена слагае-
мым, учитывающим условия на внешней границе рассматриваемого
объема [13]. В целом это известная математическая проблема восста-
новления векторного поля по распределению в объеме и на внеш-
ней поверхности объема источников этого поля (граничные условия
в математической физике понимаются как “предельные”, предельный
переход выполняется “из объема к граничной поверхности”).
Если в неограниченном пространстве известно распределение объ-
емной плотности сторонних электрических зарядов, обеспечивающее
возможность существования векторного поля электрического смеще-
ния, то тождество векторного анализа (34) позволяет записать инте-
гральное уравнение для непосредственного определения векторного
поля
~D
=
~D
(
x, y, z
) :
4
π ~D
(
M
)
−
rot
Z
∞
rot
0
~D
(
M
0
)
R
(
M, M
0
)
dV
(
M
0
) =
−
grad
Z
∞
ρ
(
M
0
)
R
(
M, M
0
)
dV
(
M
0
)
.
(35)
Если применить тождество (34) к непрерывному векторному полю
~D
и использовать соответствующие материальные уравнения среды,
можно получить интегральное уравнение, например, для непосред-
ственного определения векторного поля
~E
:
~E
(
M
) +
1
4
πε
(
M
)
rot
Z
∞
~E
(
M
0
)
×
grad
0
ε
(
M
0
)
R
(
M, M
0
)
dV
(
M
0
) =
=
−
1
4
πε
0
ε
(
M
)
grad
Z
∞
ρ
(
M
0
)
R
(
M, M
0
)
dV
(
M
0
)
.
(36)
Похожее по форме интегральное уравнение можно записать для век-
торного поля
~P
.
Выводы.
1. Векторное поле напряженности электростатического
поля в изотропной диэлектрической среде имеет своими источника-
ми объемную плотность сторонних (некомпенсированных) электри-
ческих зарядов и объемную плотность связанных (индуцированных)
электрических зарядов. Объемная плотность связанных зарядов фак-
тически является проявлением неоднородности объемной плотности
электрического дипольного момента молекул вещества в физически
бесконечно малом элементе объема. Поверхностная плотность сторон-
них электрических зарядов на поверхности рассматриваемого объема,
как правило, является известной из постановки задачи. Поверхност-
ная плотность связанных (индуцированных) электрических зарядов
на внутренней стороне боковой поверхности произвольного объема
38
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 2
