Графовый подход при построении конечно-элементной модели упругих тел в полярной системе координат

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3

УДК 539.3

DOI: 10.18698/1812-3368-2017-3-52-70

ГРАФОВЫЙ ПОДХОД ПРИ ПОСТРОЕНИИ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЙ

МОДЕЛИ УПРУГИХ ТЕЛ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

А.А. Тырымов

tyrymov2010@yandex.ru

Волгоградский государственный технический университет, Волгоград,

Российская Федерация

Аннотация

Ключевые слова

Предложен численный метод анализа напряженно-

деформированного состояния упругой среды на основе

дискретной модели в виде ориентированного графа.

В процессе анализа на основе графового метода тело

рассечено на элементы и для каждого из них построена

элементарная ячейка (подграф), являющаяся его мо-

делью. Уравнение элементарной ячейки получено с

помощью инварианта, сохраняющегося при преобра-

зовании элемента в ячейку. В качестве инварианта

использована энергия деформации. Описана процеду-

ра определения параметров элементарной ячейки.

Граф всего тела построен по тому же принципу, что и

элементарная ячейка. Вывод определяющей системы

уравнений основан на использовании фундаменталь-

ных законов Кирхгофа для графов и применении спе-

циальным образом сконструированных несингулярных

взаимно обратных матриц. Графовый метод позволяет

строить линейную аппроксимацию деформаций (соот-

ветствует квадратичной функции перемещений) на

четырехузловом элементе с восемью степенями свобо-

ды. В традиционном подходе метода конечных элемен-

тов для такой аппроксимации требуется элемент, име-

ющий восемь узлов (16 степеней свободы). В результа-

те определяющая система уравнений графового метода

содержит примерно в 3 раза меньше уравнений по

сравнению с системой, выведенной с помощью тради-

ционного подхода метода конечных элементов. Приве-

дены числовые примеры, показывающие работоспо-

собность предложенного метода

Математическое

моделирова-

ние, теория упругости, полярные

координаты, ориентированный

граф, деформация, напряжения

Поступила в редакцию 04.08.2016

Введение.

В настоящей работе описан нестандартный метод анализа полей

деформаций и напряжений, в котором в качестве дискретных моделей,

представляющих сплошное тело, использованы ориентированные графы.

Предлагаемый метод основан на сочетании дискретных и энергетических

представлений при моделировании процесса деформирования упругих сред.

Дискретная модель построена как первичная модель исследования, а способ

перехода от континуума к системе с конечным числом степеней свободы