Нули полиномов по системе типа Хаара

6 / 13

Нули полиномов по системе типа Хаара
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3 9
Для точек 1 1 ( / , ( 1) / ), t l p l p ∈ + 1 =1, , 1, l p −  имеем
1
1 2 3 1
1 1 1
2( 1) 2 4
( ) exp exp exp
N p
p l i l i l i
P t a a a a
p p p
− π π π
= + + +…+ +
2
1 2 1 2
( 1) (1)
( 1) 1 ( 1)( 1) 1 1 ( ) ( ). p
p l p p l p
l l a t a t −
+ − + + + − + χ + + χ 
Кроме того, при 1 1 2 1 1 2 ( / / , / ( 1) / ), t l p r p p l p r p p ∈ + + + 2 = 0, 1, , 1, r p −  по-
лучаем
2 1
1 2
1
1 ( 1)
1 1 1 2
2( 1) 2
( ) exp exp .
p p
N k p l p s
k s
k l i sr i
P t a p a
p p
−
+ − +
= =
− π π
= +  
Учитывая изложенное выше, для 1 = 0, 1, , 1 l p −  имеем
2
1 1
1 2
1
{ : ( / , ( 1) / ), ( ) = 0} ,
N
p
mes t t l p l p P t
p p
−
∈ + ≤
причем оценка точная. Следовательно, для 1 2 = N p p справедливо неравенство
2
2
1
{ : (0, 1), ( ) = 0} .
N
p
mes t t P t
p
−
∈ ≤
Используя приведенные выше результаты, нетрудно установить оконча-
тельность полученной оценки.
Предположим, что 0 0 0 1 0 = ( 1) ,
n n n N m p p k
+ + − где 0 0 1 {1, 2, , },
n k m − ∈  0 2, n ≥
0 . n ∈  Тогда
0 0 0 0
0
( 1) 1
0
(1) (2)
=1 = 1
( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ).
m m p p k n n n n
N m m m m N N
m m mn
P t a t a t P t P t
+ −+
+
χ + χ +  
Поскольку (2) ( ) = 0
N P t при 0 0 1 ( / , 1) = ,
n t k m − ∈ δ верно равенство
(1) { : , ( ) = 0} = { : , ( ) = 0}.
N N mes t t P t mes t t P t ∈δ ∈δ
Интервал δ распадается на целое число интервалов (n0 – 1)-го ранга
0 0
10 0
1 0 1
1
1
= , , 1.
n
n r n
n
r r k r m
m m−
− −
−
  +
Δ ≤ ≤ −  
 
 
Таким образом, приходим к неравенству
0
0 0
0 0 0
11
(1)
10
=
1 1
{ : , ( ) = 0} = | | .
mn
n n
r n
N
r k n n
p p
mes t t P t
p p
−−
−
− −
∈δ ≤ Δ δ 
Пусть 0 1 0 1 = (0, / ).
n k m − δ Этот интервал распадается на интервалы n0 -го
ранга: