5 / 13
минимизации функционала (2) к задаче минимизации функции Ла-
гранжа, предложен в работе [4]. Коротко остановимся на основных
положениях подхода.
Пусть математическая модель объекта управления задана в виде
˙X (
t
) = F (X (
t
)
, t
) + B (
t
)
u
(
t
)
.
(3)
В рассматриваемом случае
F (X (
t
)
, t
) =
((1
−
θ
) (
ξ
−
λ
)
−
θϕ
)
/T
ϕ
,
(
μ
−
ξ
)
/T
ξ
,
0
,
5
z
+ 0
,
25
z
2
Δ
z
0
sign
z
при
|
z
| ≤
Δ
z
0
z
−
0
,
25Δ
z
0
sign
z
при
|
z
|
>
Δ
z
0
T
μ
,
−
z/T
z
,
B (
t
) =
0
0
0
1
/T
z
.
1. Выполняется линеаризация математической модели с использо-
ванием метода Ньютона – Канторовича [5]. В результате получается
последовательность линеаризованных уравнений
˙X
k
+1
(
t
) + A
k
(
t
) X
k
+1
(
t
) = B (
t
)
u
(
t
) + Z
k
(
t
)
,
X
k
+1
(
t
0
) = X
0
, k
= 0
,
1
,
2
, . . . ,
(4)
где
A
k
(
t
) =
−
F
0
X
(X
k
(
t
)
, t
)
;
Z
k
(
t
) = A
k
(
t
) X
k
(
t
) + F (X
k
(
t
)
, t
)
;
F
0
X
(X
k
(
t
)
, t
) =
(
∂f
i
∂x
k
j
)
m
i,j
=1
.
2. Выполняется параметризация линеаризованной математической
модели объекта управления и функционала качества с использовани-
ем матричных операторов [6, 7]. Задача минимизации функционала (2)
для объекта (4) заменяется задачей минимизации функции Лагранжа,
построенной на основе параметризованных функционала и математи-
ческой модели объекта управления. Функция Лагранжа имеет вид
Lag ˆC
X
,
ˆC
u
,
Λ =
1
2
ˆC
X
−
ˆC
X
э
т
Q ˆC
X
−
ˆC
X
э
+
1
2
ˆC
u
т
R ˆC
u
+
+Λ
т
ˆC
X
−
A ˆC
u
−
A
0
ˆC
X
0
−
A
0
ˆC
Z
.
(5)
104
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 5