Вариационные уравнения асимптотической теории многослойных тонких пластин

1 / 21

МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО
ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК 539.3
ВАРИАЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
МНОГОСЛОЙНЫХ ТОНКИХ ПЛАСТИН
Ю.И. Димитриенко , Е.А. Губарева, Ю.В. Юрин
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация
e-mail:
На основе общего вариационного принципа Лагранжа для трехмерных уравне-
ний теории упругости с помощью теории асимптотических разложений по ма-
лому параметру, представляющему собой отношение толщины к характерной
длине пластины, без введения гипотез относительно характера распределения
перемещений и напряжений по толщине, выведено вариационное уравнение ти-
па Лагранжа для тонких многослойных пластин. Показано, что вариационное
уравнение эквивалентно системе дифференциальных уравнений теории пла-
стин Кирхгофа – Лява. Разработанная асимптотическая теория пластин дает
математически строгое (в асимптотическом смысле) обоснование классиче-
ской теории пластин Кирхгофа – Лява, но в отличие от классической модели
пластин Кирхгофа – Лява разработанная асимптотическая теория позволяет
найти распределения всех шести компонент тензора напряжений. Выведены
вариационные принципы типа Хеллингера – Рейсснера и Германна для асимпто-
тической теории пластин.
Ключевые слова: многослойные тонкие пластины, асимптотическая теория пла-
стин, метод асимптотического осреднения, асимптотические разложения, вари-
ационный принцип Лагранжа, принцип Хеллингера – Рейсснера, принцип Гер-
манна.
VARIATIONAL EQUATIONS OF ASYMPTOTIC THEORY
FOR MULTILAYER THIN PLATES
Yu.I. Dimitrienko, E.A. Gubareva, Yu.V. Yurin
Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation
e-mail:
The article presents a derivation of the Lagrange type variational equation for
thin multilayer plates based on the variational Lagrange principle for the three-
dimensional equations of the elasticity theory with the help of the theory of the
asymptotic small-parameter expansions. The parameter was the ratio of a thickness
and a typical length of the plate without introducing any hypotheses about the nature
of the distribution of both stresses and displacements in thickness. It is shown that the
variational equation is equivalent to the differential equation system of the Kirchhoff –
Love plate theory. The developed asymptotic plate theory provides a mathematically
rigorous (in the asymptotic sense) justification of the classical Kirchhoff – Love plate
theory, but unlike the Kirchhoff – Love plate model, the developed asymptotic theory
allows finding the distribution of all six components of the stress tensor. Variational
principles of Hellinger – Reissner and Hermann types were derived for the asymptotic
theory of thin plates.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 4 67