где
A
(
k
)
j,nm
=
π
2
nmτ
r
j
−
r
j
−
1
φ
(
k
)
j,n
−
m
−
φ
(
k
)
j,n
+
m
+ (
r
j
−
r
j
−
1
)
ψ
(
k
)
j,n
−
m
+
ψ
(
k
)
j,n
+
m
;
b
(
k
)
j,n
=
f
(
k
)
j,n
+ (
r
j
−
r
j
−
1
)
∞
X
m
=0
δ
m
a
(
k
−
1)
j,m
ψ
(
k
)
j,n
−
m
+
ψ
(
k
)
j,n
+
m
;
f
(
k
)
1
,n
= 4
τ
(
−
1)
n
+1
q
(
k
)
1
+ 2
τ r
1
ξ
(
k
)
n
, f
(
k
)
2
,n
= 4
τ
(
−
1)
n
+1
q
(
k
)
2
+
q
(
k
)
1
.
Здесь
φ
(
k
)
j,p
и
ψ
(
k
)
j,p
— коэффициенты Фурье функций
Λ
(
k
)
j
(
r
)
и
C
(
k
)
j
(
r
)
по системам собственных функций
{
X
j,p
(
r
)
}
∞
p
=0
задач Штурма –
Лиувилля (14);
ξ
(
k
)
n
— коэффициенты Фурье функции
F
(
k
)
(
r
)
по
системе собственных функций
{
X
1
,n
(
r
)
}
∞
n
=0
.
Для решения бесконечных систем (17) применяем метод редук-
ции [17, 18]. При этом порядок усечения
N
j
, j
= 1
,
2
каждой системы
определяем на основе оценки Рунге [13]. Таким образом, на временн ´ом
слое
t
=
t
k
решения краевых задач (9), (10) и (11), (12) могут быть
представлены в аналитической форме в виде тригонометрических ря-
дов Фурье
T
1
(
r, t
k
)
≈
N
1
X
n
=0
δ
n
a
(
k
)
1
,n
cos
πnr
r
1
;
T
2
(
r, t
k
)
≈
N
2
X
n
=0
δ
n
a
(
k
)
2
,n
cos
πn
(
r
−
r
1
)
r
2
−
r
1
,
коэффициенты
a
(
k
)
j,n
которых находим из конечных систем
(
N
j
+ 1)
-го
порядка [18].
Выбор шага
τ
по временн´ой переменной осуществляется согласно
правилу двойного пересчета [19]. В фиксированный момент времени
t
сравниваются распределения температуры в проводящем слое элек-
тронагревательного элемента
(0
≤
r
≤
r
1
)
, полученные в результате
вычислений с шагом
τ
1
=
τ
и
τ
2
=
τ/
2
. Выбирается такое значение
τ
,
при котором
T
τ/
2
1
(
r, t
)
−
T
τ
1
(
r, t
)
2
T
τ/
2
1
(
r, t
)
2
< ε,
где
ε
— заданное значение относительной погрешности; норма
k ∙ k
2
соответствует критерию малости среднеквадратичной ошибки [19].
Результаты численных расчетов.
В рассматриваемой модели
примем значение силы тока
I
=
const. Тогда при заданных значениях
70
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
