МАТЕМАТИКА
УДК
519.213.2
В
.
И
.
А н
О МОМЕНТАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РАЙСА
Получено выражение для нечетных моментов распределения Райса
через обобщенные многочлены Чебышева
–
Лагерра и модифициро
-
ванные функции Бесселя первого рода
.
Распределение Райса используется при вычислениях в различных
областях науки и техники
,
в частности в лазерной атмосферной связи
и статистической радиотехнике
[1, 2].
Известно
[2],
что для райсовской случайной величины с плотно
-
стью вероятности
p
(
x
) =
x
σ
2
exp
µ
−
x
2
+
a
2
2
σ
2
¶
I
0
³
xa
σ
2
´
, x >
0
, a >
0
,
где
I
0
(
x
)
—
модифицированная функция Бесселя первого рода нулево
-
го порядка
,
существуют начальные моменты всех порядков
:
m
k
=
Ex
k
=
=
∞
Z
0
x
k
p
(
x
)
dx
=
¡
2
σ
2
¢
k/
2
Γ (1 +
k/
2) Φ (
−
k/
2
,
1;
−
u
)
,
(1)
k
= 1
,
2
, . . .
;
здесь
u
=
a
2
/
(2
σ
2
)
,
Γ(
x
)
—
гамма
-
функция
,
Φ(
b, c
;
x
)
—
вырожденная
гипергеометрическая функция от
x
с параметрами
b
и
c
.
Для решения многих задач
,
таких как вычисление характеристиче
-
ской функции
,
кумулянтов и др
.,
необходимо знание моментов всех по
-
рядков
.
В этих случаях вместо выражения
(1),
содержащего вырожден
-
ную гипергеометрическую функцию
,
как правило
,
используют другие
представления моментов распределения Райса
.
Так
,
четные моменты
обычно выражаются через многочлены Чебышева
–
Лагерра
:
m
2
n
=
¡
2
σ
2
¢
n
n
!
L
n
(
−
u
)
, n
= 1
,
2
, . . . ,
а нечетные моменты
—
через модифицированные функции Бесселя
первого рода
.
Они могут быть последовательно вычислены по рекур
-
рентной формуле
[3]
m
r
+2
= 2
σ
2
(
r
+ 1 +
u
)
m
r
−
σ
4
r
2
m
r
−
2
, r
= 2
,
3
, . . . .
ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
1 87
