ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕТОДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
УДК
621.1.016.4
Л е Ш о н г Т у н г
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
СТАЦИОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО
СОСТОЯНИЯ КОНСТРУКЦИИ МЕТОДОМ
ЛОКАЛЬНЫХ ВАРИАЦИЙ
Рассмотрена задача определения стационарного температурного
поля в конструкции методом локальных вариаций
.
Решение основано
на использовании интегрального функционала
,
достигающего мини
-
мума на искомом решении
.
Не изменяющееся во времени температурное состояние конструк
-
ции количественно описывается температурным полем
,
которое пред
-
ставляет собой совокупность значений температуры
Т
во всех точках
M
области
D
и ее границы
С
.
Если в материале отсутствуют источники
(
или стоки
)
теплоты
,
то стационарное температурное поле в области
D
удовлетворяет нелинейному дифференциальному уравнению
[1]
∇
(
λ
(
M, T
)
∇
T
(
M
)) = 0
,
M
∈
D,
(1)
с граничными условиями
T
(
N
) =
f
1
(
N
)
,
N
∈
C
\
C
2
,
(2)
λ
(
N, T
)
n
(
N
)
∇
T
(
N
) =
f
2
(
N, T
)
,
N
∈
C
2
,
(3)
где
∇
—
дифференциальный оператор Гамильтона
;
λ
(
М
,
Т
)
—
тепло
-
проводность материала конструкции
,
зависящая в общем случае от ко
-
ординат точки
M
∈
D
(
или
N
∈
C
2
)
и температуры
;
f
1
(
N
)
—
заданная
функция
;
n
(
N
)
—
единичный вектор внешней нормали к участкам
C
2
границы
,
на которых задана функция
f
2
(
N, T
)
.
Количественный анализ математической модели
(1)–(3)
можно про
-
вести различными методами
,
причем в случае нелинейной зависимости
функции
f
2
и теплопроводности материала конструкции от температу
-
ры этот анализ связан с выполнением последовательных приближений
.
В дальнейшем положим
f
2
(
N, T
) =
α
(
N
)(
T
C
(
N
)
−
T
(
N
))
,
где
T
C
(
N
)
и
α
(
N
)
—
зависящие от положения точки
N
∈
C
2
темпера
-
тура внешней среды и коэффициент теплообмена с этой средой соот
-
ветственно
.
При сравнительно слабой зависимости
λ
от
Т
на каждой
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2004.
№
3
41
