Условия существования (4) одного нулевого корня характеристическо-
го уравнения принимают следующий вид:
Δ
3
= 0
,
Δ
2
1
>
0
,
a
2
<
1
.
Таким образом, система (1) при
a
=
b
имеет один нулевой корень
характеристического уравнения только при
Δ
3
= 0
. Являясь частным
случаем системы при
Δ
3
= 0
, эта система также является устойчивой,
но не асимптотически. При
Δ
3
6
= 0
и
a
=
b
система либо не имеет
ни одного корня, либо имеет два нулевых корня характеристического
уравнения.
Кратный нулевой корень.
Рассмотрим теперь первое условие су-
ществования кратного нулевого корня характеристического уравнения,
используя теоремы, приведенные в работе [4]. Для существования двух
нулевых корней достаточно равенства нулю любых двух из трех вели-
чин
x
i
(если
a
6
=
b
):
x
1
x
2
= 0
,
x
1
x
3
= 0
,
x
2
x
3
= 0
.
Рассмотрим сначала первое из этих условий
x
1
x
2
= 0
. Из этого
условия следует
a
=
b
6
= 1
. При этом
r
=
1
a
,
x
3
=
1
a
. Приведем
систему (3) к специальному виду:
˙
ξ
1
= Ξ
1
(
ξ
1
, ξ
2
, ξ
)
,
˙
ξ
2
= Ξ
2
(
ξ
1
, ξ
2
, ξ
)
,
˙
ξ
=
p
1
ξ
1
+
p
2
ξ
2
+
pξ
Ξ(
ξ
1
, ξ
2
, ξ
)
,
(9)
где
Ξ(
ξ
1
, ξ
2
, ξ
)
и
Ξ
i
(
ξ
1
, ξ
2
, ξ
)
,
i
= 1
,
2
, — аналитические функции, раз-
ложения которых начинаются членами не ниже второго порядка.
Введя замену переменных
ξ
1
=
y
1
,
ξ
2
=
y
2
,
ξ
=
y
3
,
получаем
˙
ξ
1
=
−
(
ξ
1
+
aξ
2
+
aξ
)
ξ
1
= Ξ
1
(
ξ
1
, ξ
2
, ξ
)
,
˙
ξ
2
=
−
(
aξ
1
+
ξ
2
+
aξ
)
ξ
2
= Ξ
2
(
ξ
1
, ξ
2
, ξ
)
,
˙
ξ
=
−
ax
3
ξ
1
−
ax
3
ξ
2
−
x
3
ξ
−
(
aξ
1
+
aξ
2
+
ξ
)
ξ.
(10)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
67
