МАТЕМАТИКА
УДК 517.957; 532.526.2
В. В. Ф е о к т и с т о в, О. О. М я к и н н и к
СТРУКТУРА РЯДА ДЛЯ РЕШЕНИЯ
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ 1-ГО ПОРЯДКА
Предложена структура ряда с неопределенными числовыми коэф-
фициентами для представления решения линейной и нелинейной си-
стем уравнений в частных производных 1-го порядка и связанных с
этими системами задач. Для линейной системы доказана теорема
о разложении аналитического решения задачи Коши по бегущим
волнам с матричными коэффициентами.
E-mail:
Ключевые слова
:
уравнения в частных производных в матричной форме,
мультииндекс, некоммутативность умножения матриц, оператор волно-
вого взаимодействия, нелинейность квадратичная.
В 1968 г. Ф.И. Федоров (Институт физики АН БССР) записал в
матричной форме и предложил к изучению систему нелинейных диф-
ференциальных уравнений в частных производных
1
-го порядка, нели-
нейные члены которой представляют собой квадратичную форму [1]:
s
X
k
=1
A
k
∂ ~B
∂x
k
=
~C
0
+
C
1
~B
+
~B
т
C
2
~B.
(1)
Число уравнений системы (1) равно числу компонент искомой
n
-мерной
вектор-функции
~B
независимых переменных
x
k
,
k
= 1
, s
:
~B
т
= (
B
1
(
x
1
, x
2
, . . . , x
s
)
, B
2
(
x
1
, x
2
, . . . , x
s
)
, . . . , B
n
(
x
1
, x
2
, . . . , x
s
))
.
Коэффициенты
A
k
,
k
= 1
, s
, представляют собой квадратные числовые
матрицы размера
n
×
n
c элементами
a
{
ij
}
k
. Каждый элемент
n
-мерного
столбца в правой части системы представляет собой полином 2-й сте-
пени относительно компонент неизвестной вектор-функции
~B
: число-
вой вектор
~C
0
составлен из свободных членов уравнений системы
c
{
i
}
0
,
i
= 1
, n
; числовая квадратная матрица
C
1
размера
n
×
n
содержит ко-
эффициенты
c
{
ij
}
1
при неизвестных функциях
B
j
,
i, j
= 1
, n
; числовая
кубическая матрица
C
2
размера
n
×
n
×
n
состоит из коэффициентов
c
i
{
jl
}
2
при квадратичных членах
B
j
B
l
,
i, j, l
= 1
, n
. Таким образом,
i
-е
уравнение системы (1) имеет вид
s
X
k
=1
n
X
j
=1
a
{
ij
}
k
∂B
j
∂x
k
=
c
{
i
}
0
+
n
X
j
=1
c
{
ij
}
1
B
j
+
n
X
j
=1
n
X
l
=1
c
i
{
jl
}
2
B
j
B
l
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 4
3
