вероятности того, что образец длины
L
выдержит нагрузку
U
:
P
{
ξ
L
> U
}
=
P
{
ν
U
> L
}
=
P
{
Λ(
U
)
ν
U
>
Λ(
U
)
∙
L
}
=
e
−
L
Λ(
U
)
.
(4)
В соответствии с теоремой 1 эта приближенная формула справед-
лива для случая высокой прочности, когда вероятность (4) достаточно
близка к 1. Отметим, что именно эта ситуация чаще всего представляет
основной интерес с практической точки зрения, когда требуется под-
твердить высокую прочность (т.е. достаточно высокую вероятность
(4)) того или иного образца под действием гипотетической нагрузки
U
. В противном случае, когда речь идет о низкой прочности (когда ве-
роятность (4), грубо говоря, меньше 0,9), особенно высокой точности
оценки этой вероятности и не требуется.
При фиксированном уровне нагрузки
U
выражение (4) с учетом (1)
может быть записано в виде
P
{
ν
U
> L
}
=
e
−
L
Λ(
U
)
,
что дает приближенно экспоненциальное распределение с параметром
Λ(
U
)
для случайной величины
υ
U
— момента (длины) разрушения при
нагрузке
U
.
С другой стороны, при фиксированной длине
L
формула (4) дает
приближенное выражение для распределения прочности
ξ
L
образца
длины
L
. И в этом случае распределение (4) уже не является экспо-
ненциальным и определяется, грубо говоря, видом и скоростью роста
функции
Λ(
U
)
, которая в этом случае имеет смысл функции ресурса
(с точностью до множителя
L
)
для случайной величины — прочности
ξ
L
. Из физических соображений и смысла функции
Λ(
U
)
в выражении
(3) ясно, что эта функция должна достаточно быстро возрастать с ро-
стом нагрузки
U
. Другими словами, распределение (4), скорее всего,
должно принадлежать к классу ВФИ-распределений [1, 2] с возраста-
ющей функцией интенсивности отказов
λ
(
U
) =
L
∙
Λ
0
(
U
)
. Точный вид
функции
Λ(
U
)
с учетом ее смысла в (3) довольно сложно найти ана-
литически, и ее можно определить лишь экспериментально на основе
результатов испытаний.
Выбор распределения прочности
ξ
L
по результатам испыта-
ний.
Тот или иной достаточно достоверный выбор между различными
семействами распределений (Вейбулла–Гнеденко, нормальным, лог-
нормальным и т.д.) для случайной величины — прочности
ξ
L
на осно-
ве экспериментальных данных во многих случаях затруднителен, так
как требует большого объема наблюдений (см., например, [1, 12–15]).
Поэтому при выборе закона распределения для прочности необходимо
опираться на те свойства распределения
ξ
L
, которые могут быть уста-
новлены на основе результатов испытаний достаточно достоверно, в
72
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 3
