Сначала исследуем решение задачи по приведенным гипотезам раз-
личными математическими методами в предположении, что элементы
матрицы
A
известны точно. Далее выберем те из них, которые дадут
положительный результат, и применим для случая, когда элементы и
матрицы
A
, и матрицы
b
заданы с известными погрешностями.
Поскольку число обусловленности матрицы
A
T
A
имеет порядок
10
18
, воспользуемся методами регуляризации.
Методы регуляризации.
Рассмотрим регуляризацию по А.Н. Тихо-
нову и
l
p
-регуляризацию [8, 9]. Для регуляризации Тихонова функци-
онал имеет вид
J
T
(X) =
k
AX
−
b
k
2
2
+
λ
k
X
k
2
2
;
(2)
для
l
p
-регуляризации
J
l
p
(X) =
k
AX
−
b
k
2
2
+
λ
k
X
k
p
p
,
0
< p
6
1
.
(3)
Здесь
k
y
k
i
i
=
m
X
j
=1
|
y
j
|
i
;
m
— число компонент вектора
y
;
λ
— параметр
регуляризации (неотрицательное число), который подлежит дополни-
тельному определению, причем четко формализованных процедур его
вычисления в настоящее время нет и
λ
можно найти в результате
калибровочных измерений.
Как правило, сглаживающий функционал
k
x
k
2
2
(вторую норму)
применяют, когда известно, что решение должно быть гладким. Если
решение
x
будет иметь только часть ненулевых координат, а осталь-
ные равны нулю (или значительно меньше первых), то целесообразнее
использовать сглаживающий функционал вида
k
x
k
p
p
, где
0
< p
6
1
.
Методы векторной оптимизации.
Известно [8, 10], что методы
регуляризации являются одним из способов сведения задачи вектор-
ной оптимизации к одной целевой функции с помощью параметра
регуляризации
λ
. Здесь будем рассматривать исходную задачу как за-
дачу векторной оптимизации и решать ее другими способами (метод
e
-ограничений, целевое программирование) без привлечения параме-
тра регуляризации
λ
.
В методах регуляризации требуется найти минимум регуляризиру-
ющего функционала
J
(X)
, который является суммой двух функци-
оналов: функционала метода наименьших квадратов (
k
AX
−
b
k
2
2
)
и
сглаживающего функционала (
k
X
k
2
2
или
k
X
k
p
p
)
, объединенных пара-
метром регуляризации
λ
, т.е. методы регуляризации можно рассматри-
вать как частный случай метода взвешенных сумм.
100
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
