Задачу векторной оптимизации запишем следующим образом:
J
1
=
k
AX
−
b
k
2
2
→
min
X
,
(4)
J
2
=
k
X
k
2
2
→
min
X
или
J
2
=
k
X
k
p
p
→
min
X
при ограничениях
AX = b
.
Ограничения в виде равенства
AX = b
можно было бы использо-
вать в случае, когда элементы матрицы
b
известны без погрешностей.
Поскольку на элементы вектора измерений
b
действуют помехи (мы
будем рассматривать белый шум), то система ограничений-равенств в
общем случае несовместна и равенства следует заменить на ограни-
чения в виде двойных неравенств:
AX = b
)
b
−
3˜
σ
6
AX
6
b + 3˜
σ,
где
˜
σ
=
σ
1
σ
2
∙ ∙ ∙
σ
8
T
— вектор средних квадратических откло-
нений (СКО) шума.
В целях упрощения записи функционалы
J
2
=
k
X
k
2
2
и
J
2
=
k
X
k
p
p
будем записывать одним функционалом
J
2
=
k
X
k
P
P
, где
P
2
(0
,
1]
∪
[2]
.
Метод
e
-ограничений переводит все целевые функции, кроме од-
ной, в ограничения. Применив этот метод к задаче (4), получим сле-
дующие виды задач математического программирования:
J
1
=
k
AX
−
b
k
2
2
→
min
X
при
k
X
k
P
P
6
δ,
b
−
3˜
σ
6
AX
6
b + 3˜
σ
;
(5)
J
2
=
k
X
k
P
P
→
min
X
при
k
AX
−
b
k
2
2
6
ε,
b
−
3˜
σ
6
AX
6
b + 3˜
σ.
(6)
В качестве оценки
δ
можно принять максимальный физически воз-
можный уровень активности либо максимальное значение, на которое
рассчитаны датчики станций, регистрирующих радиоактивное излу-
чение;
ε
можно принять равным
3
s
N
P
i
=1
σ
2
i
, где
N
— число уравнений
системы (1).
В целевом программировании существует две модели (два способа)
решения задач векторной оптимизации: архимедова модель и модель
с приоритетами. В архимедовой модели все целевые функции перево-
дятся в ограничения и выполняется максимизация взвешенной суммы
отклонений значений целевых функций от правой части ограничений.
Для задачи (4) архимедова модель записывается следующим образом:
w
1
d
1
+
w
2
d
2
→
max
d
1
, d
2
,
(7)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2009. № 2
101
