|

Оптимизация сингулярных чисел матриц, зависящих от параметров, с использованием гибридных алгоритмов

Авторы: Сулимов В.Д., Шкапов П.М., Сулимов А.В. Опубликовано: 12.10.2016
Опубликовано в выпуске: #5(68)/2016  
DOI: 10.18698/1812-3368-2016-5-46-66

 
Раздел: Механика | Рубрика: Теоретическая механика  
Ключевые слова: глобальная оптимизация, критериальная функция, сглаживающая аппроксимация, гибридный алгоритм, константа Липшица, алгоритм Метрополиса, сингулярное число, кривая Пеано

Рассмотрены экстремальные задачи для составляющих сингулярных спектров действительных матриц, зависящих от параметров. Критериальные функции предположены непрерывными, липшицевыми, многоэкстремальными, не обязательно всюду дифференцируемыми. При поиске глобальных решений использованы новые гибридные алгоритмы, объединяющие стохастический алгоритм сканирования пространства переменных и детерминированные методы локального поиска. В первом гибридном алгоритме локальные решения определены методом линеаризации с построением сглаживающих аппроксимаций, во втором - модифицированным методом кривой, заполняющей пространство. Приведены численные примеры.

Литература

[1] Nicoud F., Toda H.B., Cabrit O., Bose S., Lee J. Using singular values to build a subgrid-scale model for large eddy simulations // Physics of Fluids. 2011. Vol. 23. No. 8. P. 085106-1-085106-12.

[2] Vaidya P.G., Anand S.P.S., Nagaraj N. A nonlinear generalization of singular value decomposition and its applications to mathematical modelling and chaotic cryptanalysis // Acta Applicandae Mathematicae. 2010. Vol. 112. No. 2. P. 205-221.

[3] Danforth C.M., Kalnay E. Using singular value decomposition to parametrize state-dependent model errors // Journal of the Atmospheric Sciences. 2008. Vol. 65. No. 4. P. 1467-1478.

[4] Dax A. From eigenvalues to singular values: a review // Advances in Pure Mathematics. 2013. Vol. 3. P. 8-24.

[5] Dieci L., Elia C. The singular value decomposition to approximate spectra of dynamical systems. Theoretical aspects // Journal of Differential Equations. 2006. Vol. 230. No. 2. P. 502-531.

[6] Gu M. Subspace iteration randomization and singular value problems // SIAM Journal on Scientific Computing. 2015. Vol. 37. No. 3. P. A1139-A1173.

[7] Polyakova A. Reconstruction of potential part of 3D vector field by using singular value decomposition // Journal of Physics: Conference Series. 2013. Vol. 410. P. 012015. DOI: 10.1088/1742-6596/410/1/012015

[8] Derevtsov E.Y., Efimov A.V., Louis A.K., Schuster T. Singular value decomposition and its application to numerical inversion for ray transforms in 2D vector tomography // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. 2011. Vol. 19. No. 4-5. P. 689-715.

[9] Мироновский Л.А., Соловьева Т.Н. Анализ кратности ганкелевых сингулярных чисел управляемых систем // Автоматика и телемеханика. 2015. Т. 76. № 2. С. 18-31.

[10] Miszczak J.A. Singular value decomposition and matrix reorderings in quantum information theory // International Journal of Modern Physics C. 2011. DOI: 10.1142/S0129183111016663

[11] Lee N., Cichocki A. Estimating a few extreme singular values and vectors for large-scale matrices in tensor train format // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 2015. Vol. 36. No. 3. P. 994-1014.

[12] Montano E., Salas M., Soto R.L. Nonnegative matrices with prescribed extremal singular values // Computers and Mathematics with Applications. 2008. Vol. 56. No. 1. P. 30-42.

[13] Lewis A.S., Sendov H.S. Nonsmooth analysis of singular values // Set-Valued and Variational Analysis. 2005. Vol. 13. No. 3. P. 213-241.

[14] Chen X., Li W. Sensitivity analysis for the generalized singular value decomposition // Numerical Linear Algebra with Applications. 2013. Vol. 20. No. 1. P. 138-149.

[15] Zhang L., Zhang N., Xiao X. On the second-order directional derivatives of singular values of matrices and symmetric matrix-valued functions // Set-Valued and Variational Analysis. 2013. Vol. 21. No. 3. P. 557-586.

[16] Chu M.T., Lin M.M., Wang L. A study of singular spectrum analysis with global optimization techniques // Journal of Global Optimization. 2014. Vol. 60. No. 2. P. 551-574.

[17] Liang Q., Ye Q. Computing singular values of large matrices with an inverse-free preconditioned Krylov subspace method // Electronic Transactions on Numerical Analysis. 2014. Vol. 42. P. 197-221.

[18] Wu L., Stathopoulos A. A preconditioned hybrid SVD method for computing accurately singular triplets of large matrices // SIAM Journal on Scientific Computing. 2015. Vol. 37. No. 5. P. S365-S388.

[19] Floudas C.A., Gounaris C.E. A review of recent advances in global optimization // Journal of Global Optimization. 2009. Vol. 45. No. 1. P. 3-38.

[20] Lera D., Sergeev Ya.D. Deterministic global optimization using space-filling curves and multiple estimates of Lipschitz and Holder constants // Computations in Nonlinear Science and Numerical Simulations. 2015. Vol. 23. No. 1-3. P. 326-342.

[21] Luz E.F.P., Becceneri J.C., De Campos Velho H.F. A new multi-particle collision algorithm for optimization in a high performance environment // Journal of Computational Interdisciplinary Sciences. 2008. Vol. 1. P. 3-10.

[22] Rios-Coelho A.C., Sacco W.f., Henderson N. A Metropolis algorithm combined with Hooke-Jeeves local search method applied to global optimization // Applied Mathematics and Computation. 2010. Vol. 217. No. 2. P. 843-845.

[23] Voglis C., Parsopoulos K.E., Papageorgiou D.G., Lagaris I.E., Vrahatis M.N. MEMPSODE: A global optimization software based on hybridization of population-based algorithms and local searches // Computer Physics Communications. 2012. Vol. 183. No. 2. P. 1139-1154.

[24] Gil C., Marques A., Banos R., Montoya M.G., Gomez J. A hybrid method for solving multiobjective global optimization problems // Journal of Global Optimization. 2007. Vol. 38. No. 2. P. 265-281.

[25] Karmitsa N., Bagirov A., Makela M.M. Comparing different nonsmooth minimization methods and software // Optimization Methods & Software. 2012. Vol. 27. No. 1. P. 131-153.

[26] Chen X. Smoothing methods for nonsmooth, nonconvex minimization // Mathematical Programming. 2012. Vol. 134. No. 1. P. 71-99.

[27] Hare W., Sagastizabal C., Solodov M. A proximal bundle method for nonsmooth nonconvex functions with inexact information // Computational Optimization with Applications. 2016. Vol. 63. No. 1. P. 1-28.

[28] Сулимов В.Д. Локальная сглаживающая аппроксимация в гибридном алгоритме оптимизации гидромеханических систем // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2010. № 3. С. 3-14.

[29] Sulimov V.D., Shkapov P.M. Application of hybrid algorithms to computational diagnostic problems for hydromechanical systems // Journal of Mechanics Engineering and Automation. 2012. Vol. 2. No. 12. P. 734-741.

[30] Сулимов В.Д., Шкапов П.М. Гибридные методы вычислительной диагностики двухфазного потока в циркуляционном контуре // Математическое моделирование и численные методы. 2015. № 3. С. 68-88. DOI: 10.18698/2309-3684-2015-3-6888