|

О новой форме представления решения задачи Коши для уравнения Шредингера на прямой

Авторы: Гришин Д.В., Павловский Я.Ю., Ремизов И.Д., Рожкова Е.С., Самсонов Д.А. Опубликовано: 14.02.2017
Опубликовано в выпуске: #1(70)/2017  
DOI: 10.18698/1812-3368-2017-1-26-42

 
Раздел: Математика | Рубрика: Математическая физика  
Ключевые слова: уравнение теплопроводности, задача Коши, уравнение Шредингера, квазифейнмановская формула, касание по Чернову, кратный интеграл, полугруппа операторов

Рассмотрена задача Коши для одномерного уравнения Шредингера ψ't(f,x) = iHψ(f,x) с гамильтонианом -H вида -Hf = 1/2f" + Vf, где потенциал V - вещественная дифференцируемая функция, ограниченная вместе со своей производной. Это уравнение изучали со времен создания квантовой механики и до сих пор оно является хорошим модельным примером для демонстрации различных методов решения уравнений в частных производных. Исследован вопрос о представимости решения задачи Коши в виде квазифейнмановской формулы, и на него дан утвердительный ответ. Построенная квазифейн-мановская формула - родственное формулам Фейнмана выражение нового типа, содержащее кратные интегралы бесконечно растущей кратности. Такие формулы легче доказывать (по сравнению с фейнмановскими формулами), но они дают более длинное выражение для решения.

Литература

[1] Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредингера. М.: Изд-во МГУ, 1983. 392 с.

[2] Smolyanov O.G., Tokarev A.G., Truman A. Hamiltonian Feynman path integrals via the Chernoff formula // J. Math. Phys. 2002. Vol. 43. Iss. 10. P. 5161-5171.

[3] Feynman R.P. Space-time approach to nonrelativistic quantum mechanics // Reviews of Modern Physics. 1948. Vol. 20. Iss. 2. P. 367-387.

[4] Feynman R.P. An operation calculus having applications in quantum electrodynamics // Phys. Rev. 1951. Vol. 84. P. 108-128.

[5] Smolyanov O.G. Feynman formulae for evolutionary equations. Trends in stochastic analysis // London Mathematical Society Lecture Notes Series. 2009. Vol. 353.

[6] Smolyanov O.G. Schrodinger type semigroups via Feynman formulae and all that // Proceedings of the Quantum Bio-Informatics V. Tokyo University of Science, Japan, 7-12 March 2011. World Sc. 2013.

[7] Бутко Я.А. Формулы Фейнмана для эволюционных полугрупп // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. № 3. DOI: 10.7463/0314.0701581 URL: http://technomag.bmstu.ru/doc/701581.html

[8] Plyashecnik A.S. Feynman formula for Schrodinger-Type equations with time- and space-dependent coefficients // Russian Journal of Mathematical Physics. 2012. Vol. 19. No. 3. P. 340-359.

[9] Plyashecnik A.S. Feynman formulas for second-order parabolic equations with variable coefficients // Russian Journal of Mathematical Physics. 2013. Vol. 20. No. 3. P. 377-379.

[10] Remizov I.D. Solution of a Cauchy problem for a diffusion equation in a Hilbert space by a Feynman formula // Russian Journal of Mathematical Physics. 2012. Vol. 19. No. 3. P. 360-372.

[11] Remizov I.D. Solution to a parabolic differential equation in Hilbert space via Feynman formula-I // Модел. и анализ информ. систем. 2015. Т. 22. № 3. C. 337-355.

[12] Remizov I.D. Quasi-Feynman formulas - a method of obtaining the evolution operator for the Schrodinger equation // Journal of Functional Analysis. 2016. Vol. 270. P. 4540-4557.

[13] Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. New York: Springer-Verlag, 1983. 277 p.

[14] Engel K.-J., Nagel R. One-parameter semigroups for linear evolution equations. New York: Springer, 2000. 586 p.

[15] Engel K.-J., Nagel R. A short course on operator semigroups. New York: Springer Science + Business Media, 2006. 243 p.

[16] Chernoff Paul R. Note on product formulas for operator semigroups // Journal of Functional Analysis. 1968. Vol. 2. Iss. 2. P. 238-242.

[17] Богачев В.И., Смоляное О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотичная динамика", 2009. 724 с.

[18] Orlov Yu.N., Sakbaev V.Zh., Smolyanov O.G. Feynman formulas as a method of averaging random Hamiltonians // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. August 2014. Vol. 285. Iss. 1. P. 222-232.

[19] Smolyanov O.G., Weizs H. Vacker, Wittich O. Chernoff’s theorem and discrete time approximations of Brownian motion on manifolds // Potential Analysis. February 2007. Vol. 26. Iss. 1. P. 1-29.

[20] Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 336 с.

[21] Павлова М.Ф., Тимербаев М.Р. Пространства Соболева (теоремы вложения). Казань: КФУ, 2010. 123 с.